Қўлланма педагогика институтларининг юқори курс студент- лари ва ўрта мактаб физика ўқитувчилари учун фойдалидир

Ш боб
КРИСТАЛЛАРНИНГ ЭЛЕМЕНТАР ЗОНА
НАЗАРИЯСИ
Электрон назариянинг ривожланиши натижасида қаттиқ жисмларнинг зона назарияси ишлаб чиқилди. Бу назарияда қаттиқ жисмлар кристалл хоссасига эга деб қаралиб, шу кристалл панжаралар орасида ҳаракатланувчи электронларнинг ҳолатлари ўрганилади. Зона назарияси асосида эркин электронлар назарияси тушунтириб бера олмаган қаттиқ жисмларнинг қатор хоссаларини тушунтиришга имкон. туғилади.
Қаттиқ жисмларнинг зона назарияси асосида натижалари деярли бир хил бўлган икки хил усул ётади. Биринчи усул бўйича электронлар ўз атомлари билан кучли боғланган бўлиб, боғланиш энергияси панжаралар орасида ҳаракат вақтидаги кинетик энергиясидан катта деб қаралади. Иккинчи усул бўйича эса, электронлар ўз атомлари билан кучсиз боғланган бўлиб, боғланиш энёргияси кинетик энергиясидан анча кичикдир. Электрон эркин электронлар каби кристалл панжарада даврий потенциал майдонда ҳаракат қилади. Бу иккала усул бўйича ҳам кристалларда электронлар маълум энергетик ҳолатларда тура олади. Бу энерге- тик ҳолатлар энергетик зоналарга. бирикади. Энергетик зоналар эса бир-бирлари билан ман қилинган зоналар билан ажралган бўлиши, баъзи ҳолларда эса бири ик- кинчисининг давоми ва бири иккинчиси устига тушиб қолиши мумкин.
12-§. Кристаллардаги электронларнинг
энергетик зоналари
Изоляцияланган атомни қараб чиқайлик. Атом ядродан ва унинг атрофида маълум энергетик ҳолатларда турувчи электронлардан иборат. Бу электронларнинг ҳолатлари 4 та квант сони билан характерланади: — бош квант сони, — орбитал квант сони, — магнит квант сони ва — спин. Улар қиймат- ларни қабул қилади. Спектрал анализда да -ҳолат , да р- ҳолат да - ҳолат, да - ҳолат ва ҳ. к. деб юритилади. Масалан, кремний ( ) элементида 14 электрон бўлиб, нормал шароитда улар ҳолатларда бўлади. Ҳар бир ҳолат электронларнинг ҳолатларидан иборат, яъни каррали „айниган" бўлади. Бошқача қилиб айтганда, - ҳолатдаги 2 та электрон бир хил энергияга, р- ҳолатда- ги 6 та электрон ҳам бир хил энергияга эга бўлади ва ҳ. к.
Юқорида айтилганлардан кўринадики, атомлардаги электронлар ихтиёрий энергияга эга бўлмасдан дискрет қийматларни қабул қилар экан. Изоляцияланган атомда ҳар бир ҳолат энергетик схемада битта энергетик сатҳни ташкил қилади (14- расм).

14- расм. Изоля-
цияланган атом-
нинг энсргетик схе-
маси.
Энди атомларни бир-бирига яқинлаштирайлик. Улар бир-бирига яқинлашган сари ўзаро таъсирлари орта боради. Атомлар ораси жуда ҳам яқин бўлса, ҳар бир атом қўшни атомлар ҳосил қилган жуда кучли электромагнит майдонда турган бўлиб, у билан ўз майдони орқали таъсирлашади. Натижада электронларнинг энергетик сатҳлари парчаланади. Агар N та атомни бир-бирига яқинлаштирсак, электронларнинг энергетик сатҳлари, электроннинг ҳолатлари „айниган" бўлмаса, N та энергетик сатҳга парчаланади. Бу N та энергетик сатҳлар тўплами энергетик зонани ташкил қилади. Атомдаги электронлар каррали „айниган ҳолатда бўлса, кристаллнинг энергетик схемасида энергетик зона энергетик сатҳлардан ташкил топган бўлиши керак. Лекин Пауль принципига кўра (18-§ га қаранг) энергетик зона энергетик сатҳдан ташкил топган бўлади. Булардан тасн бир хил энергияни қабул қилса, энергетик зона каррали „айниган" ҳолатда бўлади. Демак, қаттиқ жисмларда изоляцияланган атомлардаги алоҳида энергетик сатҳлар ўрннга, энергетик зоналар ҳосил бўлар экан. Бу энергетик зоналар бир-бирлари билан ман қилинган зоналар билан ажралгандир.
Энергетик зонадаги энергетик сатҳлар орасидаги энергетик оралиқ эв бўлади. Бундан кўринадики, энергетик сатҳлар амалда узлуксиз спектрни берар экан. Бу эса, ўз навбатида, электронни битта зона билан чегараланган энергетик сатҳларда ҳаракат ҳила олишини кўрсатади. Бошқача қилиб айтганда, берилган зонадаги электронлар бир ато.мдан иккинчи атомга ўта олиб, ҳамма атомлар учун умумий бўлиб қолади.
Энергетик зонадаги ҳамма энергетик сатҳлар электронлар билан тўлган бўлса, бундай зонани тўлдирилган зона деб юритилади. Зоналарнинг энергетик сатҳлар бўйича электронларнинг тақсимланиши кристалларнинг электр хусусиятига катта таъсир кўрсатади. Эиергетик зоналарни ташкил қилган энергетик сатҳларда электронлар туриши мумкин бўлганлиги учун уларни рухсат этилган зоналар деб ҳам юритилади. Иккита зона орасидаги энергетик оралиқда электронларнинг туриши мумкин бўлган энергетик сатҳлар бўлмагани сабабли бундай энергетик оралиҳни м а н қилинган зона деб юритилади. Бошқача қилиб айтганда, электрон ман қилинган зонадаги энергия қийматларини қабул қила олмайди.
13-§. Кронинг ва Пенни усули
Энди кристаллардаги электронлар деярли эркин электронлар бўлиб, улар даврий потенциал майдонда ҳаракат қилади, деб ҳарайлик) У ҳолда ҳаттиқ жисм- лардаги электронларнинг ҳаракати Шрёдингер тенгламаси орқали ифодаланади. Бир ўлчовли фазода бу тенглама қуйидагича ёзилади:
(3.1)
бунда — электроннинг кристаллардаги тўлқин функцияси, — электронлар энергияси, — электронларнинг даврий майдонда олган потенциал энергияси. Бу тенгламани умумий ҳолда интеграллаш мумкин эмас. Шунинг учун соддалаштирилган усул билан ечамиз.

Бизнинг асосий мақсадимиз электрон энергиясининг хусусий қийматини аниқлашдан иборатдир. Бунинг учун кристаллардаги ҳар бир атом, Кронинг ва Пенни мето- дига асосан кенглиги а бўлган тўғри бурчак потенциал чуқурни ҳосил қилади деб қараб, электроннинг шу чуқурликда потенциал энергияси деб оламиз. Атомлар эса бир-бирлари билан кенглиги бўлган тўғри бурчакли потенцнал барьер билан ажралган деб қараймиз (15- расм). У ҳолда (3. 1) тенглама потенциал барьер учун
(3.2)



15- расм. Тўғри бурчакли потенциал тўсиқ (барьер).

кўринишни, потенциал чуқурлик учун

(3.3)
кўринишни олади. (3. 2) ва (3. 3) тенгламаларни қуйидаги содда шаклга келтириб ёзамиз:
бупда (3.2')
- бунда . (3. 3')
Бу тенгламаларнинг ечимини қуйидаги кўринишда излаймиз:
(3.4)
(3. 5)
(3.6)
Бунда А_ь А₂, А₃, В,, В₂ ва В_а лар ўзгармас сонлар. Буларни аниқлаш учун тўлқин функциянинг узлуксизлигидан фойдаланамиз:

(3.7)
Кристалларда атомлар тартибли жойлашган бўлганлиги сабабли, электроиларнинг кристалл панжарадаги тўлқин функцияси даврий бўлиб, даври панжаранинг даврига тенг бўлади Шунинг учун электронларнинг кристалл панжаранинг даврига тенг бўлган масофадаги нукталарда бўлиш эҳтимолликлари бир-бирларига тенг бўлади, яъни

ёки хусусий ҳолда бўлади. Бундан кўринадики, интервалда интервалдаги функциядан кўпайтувчи билан фарқланиши мумкин, яъни
(3. 8) Чегаравий шартлар (3. 7) ва (3. 8) дан фойдалансак, А_г, А₂, В, ва В₂ лар учуи қуйидаги тенгламалар системасини оламиз:
(3.9) Биз бунда дан фойдаландик. Бу тенгламалар системаси нолдан фарқли ечимга эга бўлиши учун улардан тузилган детерминант нолга тенг бўлиши керак, яъни

Детерминантии ҳисоблаб чиқсак,
(3.10)

Тёнгликни оламиз. Бу тенглик х, к ва у орасидаги боғланишни беради, яъни электроннинг кристаллдаги эиергияси е билан орасидаги муносабатни кўрсатади. Агар биз (3. 10) ифодани е га нисбатан ечсак, электронларнинг спектрини аниҳлаган бўламиз. ,е бизга маълум бўлса ни топа оламиз. Бунинг учун (3. 10) ни соддалаштирайлик, қилиб оламиз. Бошқача қилиб айтганда, потенциал барьернинг баландлиги чексизга интилади, лекин унинг юзаси ўзгармай қолади деб қараймиз. У ҳолда лимитга ўтсак:
(3. 11)

(3. 10) ва (3. 11) дан
(3. 12)
ифодани оламиз. Бунда

(3. 12) тенглик е га нисбатан алгебраик ечимга эга эмас. Шунинг учун бу ифодани график усулда ечамиз. Ордината ўқига

ни, абсцисса ўқига ка қўйсак, 16- расмда кўрсагилган графикни оламиз. (3. 12) тенгликнинг ўнг томонидаги созРа фақат қийматларнигина қабул қилганлиги сабабли, у кучга эга бўлишлиги учун тенгликнинг чап томонидаги ҳадлар

ҳам + 1 ва -1 орасидаги қийматларни қабул қилиши керак. нинг абсолют қиймати |±1| дан катта бўлиши ҳам мумкин, у ҳолда (3. 12) тенг- лик кучга эга бўлмайди. Криcталлдаги электронларнииг энергияси к орқали аниқланганлиги учун улар ихтиёрий энергия қийматини қабул қилмасдан (3. 12)
тенглик кучга эга бўладиган нинг қийматига мос келган энергияларни қабул қилиши мумкин.
расмда (3. 12) тенглик кучга эга бўладиган ка қийматлари штрихлар билан ажратилган. Уларга мос келган энергиялар:


16- расм. Кристалл панжарадаги мумкин бўлган энер- гетик ҳолатлар.

оралиқдаги қийматларни қабул қилади. Бу оралиқлардаги энергия қийматлари электронлар учун рухсат этилган қийматлар бўлиб ҳисобланади. Шунингдек,

оралиқлардаги энергия қийматлари электронлар учун ман қилинган қийматлардир. Яъни бу оралиқдаги энергияларни электронлар қабул қила олмайди.
Юқорида айтилганлардан кўриниб турибдики, кристалларда электронларнинг энергетик сатҳлари, энергетик зоналарга ажралар экан. Бу энергетйк зоналар эса ман қилинган зоналар билан ажратилган бўлар экан. Электронлар энергиясининг хусусий қийматларини (3. 12) ифодадан топсак, уларнинг хусусий функцияларини ҳам аниқлай оламиз.
(3. 1 2) да бўлса бўлади. Бундан қийматларни қабул қила олади, ёки
бўлиб изоляцияланган атомдаги электронларнинг спектрини оламиз. Р — чекли аниқ қийматни қабул қилса, юқорида кўрилганидек энергетик зоналарни оламиз (17- расм).
Электронлар битта энергетик зонадан иккинчи энергетик зонага ўтиши учун камида ман қилинган зона кенглигига тенг бўлган энергияни ютиши ёки чиқари-

расм. Қристалларда энергетик зоналарнинг ҳосил бўлиши.
ши керак, акс ҳолда, электрон зонадан зонага ўта ол- майди. Рухсат этилган зонада электрон бир энергетик сатҳдан иккинчи энергетик сатҳга энергияси 10“²² эв га ўзгариши билан ўта олади.
14- §. Ўтказгич, ярим ўтказгич ва изоляторлар
Атомлардаги электронлар бутунлай чиқарилиб ташланиб, фақат „яланғоч" ядро қолган деб фараз қилайлик. Энди олиб ташланган электронлардан атомга бит- тадан қўябошласак, олдин ҳолат тўлади, сўнгра , ва ҳ. к. ҳолатлар тўла бошлайди. Демак, атомда паст энергетик ҳолатдан бошлаб юқори энергетик ҳо- латга қараб тўла борар экан. Лекин атомларнинг электрон қобиқлари бу тартибда тўла бориши шарт эмас. Масалан, калий элементида К, Л- электрон қобиқлари тўлган бўлиб, М- электрон қобиғи бутунлай тўлмай туриб (унда ва ҳолатлар электронлар билан тўлган холос), охирги битта электрони - қобиқдаги лолатда туради. Бунга сабаб - электрон қобиғидаги ҳолат энергиясига қараб мис ҳолатдан пастда туради. .Мис атомида 29 та электрон бўлиб, булардан 28 та электрон К, Е ва М- электрон қобиқларида туради. Битта электрони 48 ҳолатга жойлашган. Мис криста- лида ҳолатлар энергетик зонани ҳосил қилса, бу зонанинг ярми тўлиб, ярми бўш қолади. Агар бу зона ҳўшни зоналардан бири билан устма-уст тушган бўлса ҳам, электронлар билан тўлган бўлмайди. Шу сабабли мис ўтказгич ҳисобланади. •
Германий атомида 32 та электрон бўлиб, улардан 28 таси К, Л ва М- электрон цобиқларида туради, ҳолган тўрттаси эса иккитадан 48 ва \р ҳолатларда туради. Агар N та германий атоми бирикишидан кристалл ҳосил бўлса, 48 ва \р ҳолатлар парчаланиб, бир- бирларидан ман қилинган зона билан ажралган 2Д/ энергетик ҳолатлардан ташкил топган зоналарга ажралади. Бу иккита зонадан пасткиси Т = 0 температура яқинида 4А/ та электрон билан тўлган бўлиб, юқори- гиси эса бутунлай бўш қолади. Шунинг учун Ое кристали паст температураларда изоляторга ўхшаб ҳолади.
Демак, кристалларда электронлар қайта тақсимланиб, паст энергетик зонадан бошлаб юқори энергетик зонага қараб электронлар билан тўла борар экан.
Паст энергетик зоналар электронлар билан тўлган бўлиб, маълум энергетик зонадан бошлаб эса юқоридаги зоналар бутунлай бўш бўлиши ёки қисман тўлган бўлиши мумкин.
Зовалардаги электровларнинг тақсимланиши ва ман қилинган зоналарнинг кенглигига қараб, қаттиқ жисмлар металлик (ўтказгичлик), ярнм ўтказгичлик ва изоляторлик хоссаларига эга бўладилар.