Лекция №2 определитель -го порядка. Определители второго и третьего порядков план

3.2. Миноры и алгебраические дополнения. Свойство 9 (теорема Лапласа)
Для того чтобы сформулировать последнее свойство определителей требуются новые понятия и определения.
Определение. Если в определителе -го порядка выделить некоторый элемент, например , и вычеркнуть строку и столбец, в которых этот элемент находится ( -я строка и -й столбец), то в результате останется определитель -го порядка. Этот оставшийся определитель называется минором элемента и обозначается символом .
Например, для определителя 4-го порядка


.

Выделим элемент и вычеркнем 3-ю строку и 2-й столбец, в которых находится этот элемент. Получим минор элемента

.

Очевидно, количество миноров - го порядка будет столько, сколько элементов содержит определитель, т.е. .

Если в миноре - го порядка выбрать какой-либо элемент и вычеркнуть строку и столбец, в которых он находится, то получим минор - го порядка. Аналогично, можно говорить о минорах - го, - го порядка и т.д. минором 1-го порядка являются сами элементы определителя.
Определение. Алгебраическим дополнением элемента называется его минор, взятый со знаком . Алгебраическое дополнение обозначается символом .
.
Пример. Дан определитель


.

Выделим элемент 5 и вычеркнем строку и столбец, в которых он находится. Получим

.

Алгебраическое дополнение этого элемента

.
Теперь приведем последнее свойство определителей (без доказательство).


Свойство 9 (теорема Лапласа). Определитель равен сумме произведений элементов любой строки (столбца) на их алгебраические дополнения, т. е.

или то же самое

.
Это формула называется формулой разложения определителя по элементам -й строки.
Очевидно, также имеет место формула разложения определителя по элементам -го столбца:
.