Лекция №2 определитель -го порядка. Определители второго и третьего порядков план

Следствие. Сумма произведений всех элементов некоторой строки (некоторого столбца) определителя на алгебраические дополнения соответствующих элементов другой строки (или другого столбца) равна нулю.


Пример. Вычислить определитель


.

Разложим его по элементам первой строки. Имеем

Читатель может самостоятельно разложить определитель по другим строкам и столбцам определителя и убедится, что во всех случаях искомая величина будет равна 40.

Нетрудно заметить, что если у определителя какая-либо строка или столбец содержит нулевые элементы, то разложение удобнее осуществлять именно по этой строке или столбцу.
Например, дан определитель


.

Вычислить такой определитель весьма просто, если разложить его по элементам второй строки:

.
Пользуясь свойствами определителя, можно превращать некоторые элементы какой-либо строки или столбца в нули, что существенно упрощает вычисления.
Пример. Дан определитель


.

Пользуясь свойством 8, прибавим к элементам первой строки соответствующие элементы третьей строки, умноженные на -1. От этого определитель не изменится:

.

Как видим, среди элементов 1-й строки появился один нулевой. Теперь прибавим к элементам 2-го столбца соответствующие элементы третьего столбца, умноженные на -2. Получим

.

Полученный определитель также равноценен исходному. Но его 1-я стока и 2-й столбец содержит по два нулевых элемента. Разложив, например, этот определитель по элементам 2-го столбца, имеем:

Ключевые слова:


Определитель, элементы определителя, главная диагональ, побочная диагональ, порядок определителя, перестановка, инверсия (беспорядок).