Лекция 1 Введение. Стационарные и нестационарные задачи математической физики. О корректных задачах для уравнений в частных производных

Граничные обратные задачи

В условиях, когда прямые измерения на границе невозможны, мы имеем дело с граничными обратными задачами. В этом случае недостающие граничные условия идентифицируются, например, по измерениям внутри области. Приведем пример подобной обратной задачи для параболического уравнения (1.46).

Будем считать, что измерения недоступны на правом конце отрезка , но зато известно решение во внутренней точке , т. е. вместо (1.47) заданы условия


. (1.51)

Типичная постановка граничной обратной задачи состоит в идентификации потока на части границы, недоступной измерению (в рассматриваемом примере – при ). Это соответствует нахождению из условий (1.46), (1.48), (1.51) функций .

Эволюционные обратные задачи

Прямая задача для нестационарных задач математической физики характеризуется заданием начальных условий (см., например, (1.48)). К эволюционным обратным задачам мы будем относить обратные задачи, в которых идентифицируются начальные условия (их недостает для формулировки задачи как прямой).

Применительно к рассматриваемой прямой задаче (1.46)–(1.48) простейшая эволюционная обратная задача формулируется следующим образом. Нам не заданы начальные условия (1.48), но известно решение на конечный момент времени :


. (1.52)

Необходимо найти решение уравнения (1.46) в предшествующие моменты времени (ретроспективная обратная задача).

Можно ставить обратную задачу по идентификации начального состояния при использовании дополнительной информации о решении во внутренних точках (дополнительное условие типа (1.50)).


Лекция 4


Краевые задачи для обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ). Численные методы. Определение разностных схем. Аппроксимация, устойчивость и сходимость разностных схем

Обсуждение проблем численного решения задач математической физики начинаем с рассмотрения краевой задачи для обыкновенного дифференциального уравнения второго порядка. При аппроксимации дифференциальной задачи используются различные подходы, основное внимание уделяется конечно разностным аппроксимациям. На основе оценок устойчивости сеточного решения по правой части и граничным условиям устанавливается сходимость приближенного решения к точному. При решении сеточных задач, возникающих при дискретизации одномерных задач, используются прямые методы линейной алгебры.