Лекция 1 Введение. Стационарные и нестационарные задачи математической физики. О корректных задачах для уравнений в частных производных

Разностная схема

Обозначим через равномерную сетку для простоты, с шагом на интервале :

,

причем множество внутренних узлов, а множество граничных узлов. Разложение по формуле Тейлора в окрестности произвольного внутреннего узла дает:

для достаточно гладкой функции . Поэтому для левой разностной производной имеем

. (2.9)

Тем самым левая разностная производная аппроксимирует первую производную с первым порядком (погрешность аппроксимации в каждом внутреннем узле) при .

Аналогично для правой разностной производной получим


. (2.10)

При использовании трехточечного шаблона можно использовать центральную разностную производную:

, (2.11)

которая аппроксимирует производную со вторым порядком при .

Для второй производной подобные выкладки дают:


.

Этот разностный оператор аппроксимирует в узле вторую производную со вторым порядком при .

Построение разностных схем для задачи (2.1), (2.2) с достаточно гладкими коэффициентами можно осуществить на основе непосредственного перехода от дифференциальных операторов к разностным.
Остановимся подробнее на аппроксимации одномерного оператора


. (2.12)

Рассмотрим разностное выражение

.

С учетом представлений (2.9), (2.10) для локальной погрешности аппроксимации первых производных направленными разностями получим

(2.13)
.

Для нахождения коэффициентов , сравним (2.13) с дифференциальным выражением

.

Естественно ориентироваться на выбор таких, что

, (2.14)


, (2.15)

При таких условиях разностный оператор

, (2.16)

где, например, , будет аппроксимировать дифференциальный оператор (2.12) с точностью .

Условиям (2.15), (2.16) удовлетворяют в частности, следующие формулы для определения :


,


, (2.17)


.

Другие, отличные от (2.16), (2.17), возможности построения разностного оператора отмечаются ниже.

Дифференциальной задаче (2.1), (2.2) поставим в соответствие разностную задачу


, (2.18)


, (2.19)

где, например, .

Краевые задачи математической физики удобно рассматривать при однородных граничных условиях. Это же в полной мере относится и к сеточным задачам. Сам переход от неоднородных граничных условий к однородным в дифференциальных задачах не всегда очевиден. Для сеточных задач ситуация в некотором смысле проще – неоднородные граничные условия включаются в правую часть сеточного уравнения в приграничных узлах. В качестве примера рассмотрим сеточную задачу (2.18), (2.19).
Будем рассматривать множество сеточных функций, обращающихся в нуль в граничных узлах, т. е. . В силу этого речь идет об аппроксимации сеточной функцией только во внутренних узлах расчетной сетки. Для вместо разностной задачи (2.18), (2.19) будем использовать операторное уравнение


. (2.20)

В приграничных узлах используются аппроксимации типа

.
Поэтому


,

где

.

Таким образом разностная задача (2.20) с оператором А, определяемым согласно (2.16) и действующим на множестве сеточных функций, обращающихся в нуль на , ставится в соответствие дифференциальной задаче (2.1), (2.2). При этом правая часть в (2.20)

имеет не совсем обычный вид только в приграничных узлах.