Лекция 1 Введение. Стационарные и нестационарные задачи математической физики. О корректных задачах для уравнений в частных производных

Сходимость разностных схем

Основной вопрос при рассмотрении дискретных аналогов краевых задач состоит в исследовании близости приближенного решения к точному. На основе априорных оценок устойчивости решения разностной задачи можно получить оценки скорости сходимости приближенного решения в сеточных гильбертовых пространствах при численном решении модельной краевой задачи (2.1), (2.2).

Напомним некоторые основные понятия теории разностных схем. Будем считать, что на отрезке введена равномерная сетка


,

где множество внутренних узлов:

.
Для некоторых других отдельных частей сетки используем обозначения


,


.

На множествах узлов определим скалярные произведения

.

Приведем также сеточные аналоги формул дифференцирования произведения функций и интегрирования по частям. На основе введенных ранее определений операторов правой и левой разностных производных непосредственно проверяется справедливость равенств:

,
(2.28)


.

Эти равенства являются сеточным аналогом формулы дифференцирования

.

Аналогами формулы интегрирования по частям

являются сеточные тождества:

,
(2.29)


.

Заменяя в (2.29) на , получим первую разностную формулу Грина:

. (2.30)


Вторая разностная формула Грина имеет вид



(2.31)
.

Формулы (2.30), (2.31) принимают более простой вид

, (2.32)


(2.33)

для сеточных функций , обращающихся в нуль при и (на ).

Для модельной задачи (2.1), (2.2) мы построили разностную схему (2.20), в которой разностный оператор А определяется на множестве сеточных функций , обращающихся в нуль на , выражением (см. (2.16))


, (2.34)

где, например, . В сеточном гильбертовом пространстве норму введем соотношением .

Разностный оператор в , как и в дифференциальном случае, является самосопряженным:


. (2.35)

Равенство непосредственно следует из (2.33).

Для оператора при обычных ограничениях верна оценка снизу


, (2.36)

где минимальное собственное значение разностного оператора второй производной. Для равномерной сетки имеем

.

Получим такую оценку снизу для оператора на основе следующего разностного неравенства Фридрихса.