Лекция 1 Введение. Стационарные и нестационарные задачи математической физики. О корректных задачах для уравнений в частных производных

Нестационарные задачи математической физики

В качестве базового нестационарного уравнения математической физики выступает одномерное параболическое уравнение второго порядка. Задача рассматривается в прямоугольнике

.

Ищется решение уравнения

(1.9)

Оно дополняется (первая краевая задача) граничными

, (1.10)

и начальным

, (1.11)

условиями. Для простоты мы ограничились однородными граничными условиями и зависимостью коэффициента только от пространственной переменной, причем .

Вместо условий первого рода (1.10) могут задаваться другие граничные условия. Например, во многих прикладных задачах необходимо ориентироваться на использование граничных условий третьего рода:


,
(1.12)
.

Среди других нестационарных краевых задач необходимо выделить задачу для гиперболического уравнения второго порядка. В одномерном по пространству случае ищется решение уравнения

. (1.13)

Для однозначного определения решения этого уравнения помимо граничных условий (1.10) задаются два начальных условия

. (1.14)

Особое внимание необходимо уделять многомерным нестационарным задачам математической физики. Примером служит двумерное параболическое уравнение. Будем искать в области функцию , удовлетворяющую уравнению

, (1.15)

и условиям

, (1.16)


. (1.17)

Аналогично формулируются и другие нестационарные многомерные краевые задачи для уравнений с частными производными.

О корректных задачах для уравнений в частных производных

Граничные и начальные условия формулируются для того, чтобы из множества возможных решений дифференциального уравнения с частными производными выделить искомое. Этих дополнительных условий должно быть не очень много (решения должны существовать) и не очень мало (решений не должно быть много). С этим связано понятие корректной постановки задачи. Остановимся вначале на понятии корректности задачи по Ж. Адамару (корректность в классическом смысле).

Задача называется корректно поставленной, если:
1) решение задачи существует,
2) это решение единственно,
3) решение задачи зависит непрерывно от входных данных.
Особое значение имеет именно третье условие корректности, которое обеспечивает малость изменений решения при малом изменении входных данных. Входными данными выступают коэффициенты уравнения, правая часть, граничные и начальные данные, которые берутся из эксперимента и всегда известны с некоторой погрешностью. Устойчивость решения по отношению к малым возмущениям начальных и граничных условий, коэффициентов и правой части фактически оправдывает саму постановку задачи, ее познавательную сущность, ценность всего исследования.
При рассмотрении краевых задач для уравнений математической физики теоремы существования, единственности и устойчивости в своей совокупности обеспечивают полное исследование корректности поставленной задачи. Понятно, что условия корректности должны конкретизироваться при рассмотрении той или иной задачи. Это связано с тем, что решение задачи и входные данные рассматриваются как элементы некоторых вполне конкретных функциональных пространств. Поэтому поставленная задача может быть некорректна при одном выборе пространств и корректна — при другом. Поэтому утверждения о том, что та или иная задача корректна (некорректна) не носят абсолютного характера и должны сопровождаться необходимыми оговорками.