Лекция 1 Введение. Стационарные и нестационарные задачи математической физики. О корректных задачах для уравнений в частных производных

Лемма 1.1. Для функции , удовлетворяющей неравенству


,

с , верна оценка

.


Теорема 1.1. Для решения задачи (1.19), (1.20) верна априорная оценка


. (1.22)
Доказательство. Домножая уравнение (1.19) скалярно на , получим равенство


.

С учетом неравенства Коши-Буняковского (неравенство Шварца) имеем

,

что с учетом неотрицательности оператора приводит к неравенству

.

Из этого неравенства вытекает доказываемая оценка (1.22) (в лемме Гронуолла ).

Корректность задачи связывается с существованием единственного решения и его устойчивостью по отношению к малым возмущениям входных данных.
Следствие 1. Решение задачи (1.19), (1.20) единственно.
Пусть имеются два решения и . Разность удовлетворяет уравнению (1.19) с , и однородному начальному условию ( ). Из априорной оценки (1.22) следует для всех .
В рассматриваемой задаче в качестве входных данных необходимо рассматривать, прежде всего, начальные условия. В этом случае мы говорим об устойчивости по начальным данным. Входными данными являются коэффициенты уравнения (коэффициентная устойчивость). В частности, имеет смысл исследовать зависимость решения задачи от правой части уравнения — устойчивость по правой части. Покажем, например, что полученная априорная оценка (1.22) обеспечивает устойчивость по начальным данным и правой части.
Будем помимо (1.19), (1.20) рассматривать задачу с возмущенными начальным условием и правой частью:


. (1.23)

Начальное условие (1.11) переписывается в виде

. (1.24)


Следствие 2. Пусть


,


где . Тогда





с постоянной .
Это определяет непрерывную зависимость решения задачи (1.19), (1.20) от правой части и начальных условий. Для из (1.19), (1.20) и (1.23), (1.24) получим задачу


(1.25)


, (1.26)

где .

Для решения задачи (1.25), (1.26) верна априорная оценка

и тем самым

.

Немного сложнее устанавливаются оценки коэффициентной устойчивости решения задачи (1.18)–(1.20) (по коэффициенту ).