Лекция 1 Введение. Стационарные и нестационарные задачи математической физики. О корректных задачах для уравнений в частных производных

Лекция 2


О некорректных задачах для уравнений в частных производных. Определение обратных задач

Обратные задачи математической физики часто относятся к классу некорректных в классическом смысле. В качестве примера некорректной задачи рассматривается задача с обратным временем для параболического уравнения второго порядка, для которой нет непрерывной зависимости решения от начальных данных. При сужении класса решений имеет место устойчивость, т. е. эта задача принадлежит к классу условно корректных (корректных по Тихонову) задач.

Пример некорректной задачи

Задачи, в которых какое-либо из трех условий корректной постановки задачи (существование, единственность, устойчивость) не выполнено, относятся к классу некорректных задач. При этом определяющую роль играет условие непрерывной зависимости решения от входных данных. Приведем некоторые примеры некорректно поставленных задач для уравнений математической физики.

Для эллиптических уравнений корректно поставленными являются задачи с заданными граничными условиями (см., например, (1.1), (1.4)). Можно рассмотреть задачу Коши для эллиптических уравнений, когда условия ставятся не на всей границе , а только на некоторой ее части . Решение определяется из уравнения (1.1) и двух условий на Г:


. (1.32)

Некорректность задачи Коши (1.1), (1.32) обусловлена неустойчивостью решения относительно этих условий.

Для параболических уравнений корректными являются задачи с заданными граничными и начальным условиями (см. (1.9)–(1.11)). При задании решения на конечный момент времени мы имеем задачу с обратным временем — по заданному состоянию мы хотим восстановить предысторию исследуемого процесса. Остановимся на простейшей задаче с обратным временем:
(1.33)


, (1.34)


. (1.35)

Для объяснения сущности некорректности этой задачи можно рассмотреть решение задачи (1.33)–(1.35) с условием

(1.36)

где и целые положительные числа. В норме гильбертова пространства , имеем

при , т.е. «начальное» условие сколь угодно малое.

Точное решение задачи (1.33)–(1.36) имеет вид


.

Из этого представления следует, что при

при . Таким образом, возмущения в «начальном» условии, сколь малыми они не были, неограниченно возрастают при .