Трохова Наталья Сергеевна Методы решения обратных задач для уравнений параболического типа Общая постановка обратных задач

Воронежский Государственный Педагогический Университет


Трохова Наталья Сергеевна
Методы решения обратных задач для уравнений параболического типа
1. Общая постановка обратных задач

Математика есть метод познания явлений природы для управления ими. Процесс познания всегда связан с построением некоторой модели, правильность которой проверяется практикой.

Пусть z - искомая характеристика модели, а u (следствие z) – величина сопоставляемая с реально наблюдаемой. Прямая задача об определении и по заданному z дается выражением
A(z)=u, (1)
Причем предполагается, что решение рассматриваемой задачи единственно (каждому z отвечает вполне определяемое u). Так, например, если z – краевой температурный режим, таким образом, ему отвечает единственное значение температуры (u) в любой точке внутри нагреваемого тела. Оператор А при этом имеет одномерной системы с постоянными тепловыми характеристиками хорошо известное интегральное выражение. Наблюдаемая величина обычно задана с некоторой погрешностью , если точное значение «наблюдаемой». Нас интересует обратная задача: найти z по заданному . Речь идет о решении операторного уравнения (1), где Предположим даже, что закон соответствия (оператор А) адекватен действительной связи между этими величинами. Тогда указанная постановка некорректна прежде всего по той причине, что при заданном решение уравнения (1) может отсутствовать: ни при каком z. Для уравнения (1) малым возмущением , то есть заданному , могут отвечать сколь угодно большие возмущения искомого z,то есть решение неустойчиво относительно малого возмущения входных данных. Таким образом, задача о поиске точного решения уравнения (1) с приближенными входными данными оказывается некорректно поставленной и по этой причине.
Более естественная постановка обратной задачи, учитывающая то, что не обязана точно соответствовать выбранной модели z, состоит в том, чтобы найти все элементы z, удовлетворяющие неравенству
(2)
Действительно, все z, удовлетворяющие (2),эквивалентны с точки зрения выбора модели при заданном уровне погрешности входных данных и при отсутствии какой-либо дополнительной информации об искомой модели.