Курсовая работа по математическому анализу ряды фурье и их применение

Определение. Функция называется кусочно-монотонной на отрезке , если этот отрезок можно разбить на конечное число отрезков, на каждом из которых функция монотонна, т.е. либо возрастает, либо убывает, либо является постоянной.
Если непрерывная (или кусочно-непрерывная) функция на монотонна или кусочно-монотонна, то в любой внутренней точке она имеет левый и правый предел, т.е. существуют

Теорема (Дирихле). Пусть функция определена на и удовлетворяет на этом отрезке условиям:

1. 
   непрерывна или имеет конечное число точек разрыва первого рода (т.е. кусочно-непрерывна);
   
2. 
   монотонна или имеет конечное число точек экстремумов (т.е. кусочно-монотонна).
   

Тогда разлагается на отрезке в тригонометрический ряд Фурье. То есть тригонометрический ряд Фурье функции сходится на всем отрезке и его суммой является функция , определенная на этом отрезке следующим образом:

1. 
   во всех точках , в которых функция непрерывна;
   
2. 
   , если и – точка разрыва первого рода функции . То есть в точках разрыва функции функция равна среднему арифметическому односторонних пределов в этой точке;
   
3. 
   . То есть на границах отрезка функция равна среднему арифметическому левого предела функции в точке и правого предела функции в точке [9].
   

Причем, на любом отрезке , не содержащем точек разрыва функции тригонометрический ряд Фурье сходится к равномерно.
Условия 1) и 2) теоремы Дирихле называются условиями Дирихле.
Теорема Дирихле дает достаточные условия разложения функции в тригонометрический ряд Фурье на отрезке . Существуют и другие достаточные условия разложения функции в тригонометрический ряд Фурье. Но для решения практических задач обычно достаточно теоремы Дирихле, так как условия Дирихле удовлетворяет большой класс функций.
Пусть функция – периодическая, с периодом , разлагающаяся в тригонометрический ряд Фурье на отрезке . Тогда это разложение имеет место для всех . Это очевидным образом вытекает из следующих утверждений:
1) определены для всех и, следовательно, тригонометрический ряд Фурье определен для всех ;
2) сумма тригонометрического ряда (14) является функцией периодической с периодом ;
3) во всех точках непрерывности функции на отрезке и, следовательно, и в остальных точках непрерывности функции (т.к. обе функции периодические с периодом ).