Курсовая работа по математическому анализу ряды фурье и их применение

1.3. Ортогональность тригонометрической системы функций

Определение. Функция заданная на называется кусочно-непрерывной на , если она имеет лишь конечное число точек разрыва первого рода.
Определение. Скалярным произведением двух функций и , определенных и кусочно-непрерывных на называется число, обозначаемое ( , и равное определенному интегралу от произведения этих функций по отрезку , т.е.

Определение. Функции и называются ортогональными на отрезке , если их скалярное произведение равно нулю, т.е. если

Определение. Нормой функции на отрезке называется число

Определение. Функция называется нормированной на отрезке ,

Пусть имеется последовательность функций определенных и кусочно-непрерывных на , причем среди них нет функций, тождественно равных нулю.
Определение. Последовательность функций называется ортогональной на , если любые две различные функции этой системы ортогональны на , т.е.

Определение. Последовательность функций называется нормированной на , если нормирована каждая функция этой последовательности, т.е.

Определение. Последовательность функций называется ортонормированной на , если она является ортогональной и нормированной, т.е.

Пример. Рассмотрим систему тригонометрических функций

1,

(10)

общего периода Покажем, что эта система функций ортогональна на . Имеем:





Таким образом, система (10) тригонометрических функций действительно является ортогональной на отрезке .
Ортонормированный система (1.10) не будет, так как


Учитывая последние равенства, получаем, что ортонормированной будет система функций

Заметим, что функции системы (10) ( а также системы (11)) линейно независимы.
Аналогично можно показать, что на система функций

(12)

является ортогональной, а система функций

(13)

является ортонормированной.
Ортогональную (ортонормированную) систему функций можно считать аналогом ортогонального (ортонормированного) базиса в конечномерном евклидовом пространстве. Как мы позднее убедимся, имеется класс функций, которые являются линейными комбинациями функций ортогональной (ортонормированной) системы, причем слагаемых в линейной комбинации может быть бесконечное число. Линейная комбинация с бесконечным числом слагаемых представляет собой ряд. Использование ряда как функции связано с вопросами сходимости этого ряда.
Рассмотрим разложение функции по тригонометрической системе функций (10).