Курсовая работа по математическому анализу ряды фурье и их применение

Введение

Ряд Фурье – это представление произвольной функции с периодом в виде ряда. В общем виде рядом Фурье называется разложение элемента по ортогональному базису. Разложение функции в ряд Фурье – хороший инструмент при решении разных задач, потому что обладает свойствами преобразования при дифференцировании, интегрировании, сдвиге функции по аргументу и свёртке функций. Данное преобразование имеет большое значение, поскольку с помощью него можно решать много практических задач. Рядами Фурье пользуются не только математики, но и специалисты других наук.
Разложение функций в ряд Фурье – это математический прием, который можно наблюдать и в природе, если использовать прибор, чувствующий синусоидальные функции.
Данный процесс происходит, когда человек слышит какой-либо звук. Ухо человека устроено таким образом, что может чувствовать отдельные синусоидальные колебания давления воздуха разной частоты, что, в свою очередь, позволяет человеку распознавать речь, слушать музыку.
Ухо человека воспринимает звук не целиком, а через составляющие его ряда Фурье. Струны музыкального инструмента производит звуки, представляющие собой синусоидальные колебания различных частот. Действительность разложения света в ряд Фурье представляет радуга. Зрение человека воспринимает свет через некоторые его составляющие разных частот электромагнитных колебаний.
Преобразованием Фурье является функция, которая описывает фазу и амплитуду синусоид, определенной частоты. Это преобразование используют для решения уравнений, описывающих динамические процессы, которые возникают под действием энергии. Ряды Фурье решают задачу выделения постоянных составляющих в сложных колебательных сигналах, что позволило правильно трактовать полученные данные экспериментов, наблюдений в медицине, химии и астрономии [8].
Открытие данного преобразования принадлежит французскому математику Жан Батисту Жозефу Фурье. В честь, которого впоследствии было и названо рядом Фурье. Первоначально ученый нашел применение своего метода при изучении и объяснении механизмов теплопроводности. Было предположено, что изначальное нерегулярное распределение тепла можно представить в виде простейших синусоид. Для каждой, из которых будет определен температурный минимум, максимум и фаза. Функция, описывающая верхние и нижние пики кривой, фазу каждой гармоники называется преобразованием Фурье от выражения распределения температуры. Автор преобразования предложил способ разложения сложной функции в виде суммы периодических функций косинуса, синуса [2].
Целью курсовой работы является изучение ряда Фурье и актуальности практического применения данного преобразования.
Для достижения поставленной цели были сформулированы следующие задачи:
1) дать понятие тригонометрического ряда Фурье;
2) определить условия разложимости функции в ряд Фурье;
3) рассмотреть разложение в ряд Фурье четных и нечетных функций;
4) рассмотреть разложение в ряд Фурье непериодической функции;
5) раскрыть практическое применение ряда Фурье.
Объект исследования: разложение функций в ряд Фурье.
Предмет исследования: ряды Фурье.
Методы исследования: анализ, синтез, сравнение, аксиоматический метод.