Курсовая работа по математическому анализу ряды фурье и их применение

2. Практическое применение рядов Фурье

2.1. Задачи на разложение функций в ряд Фурье и их решение

В тригонометрический ряд Фурье требуется разложить функцию, являющуюся периодическим продолжением заданной на отрезке функции. Для этого необходимо пользоваться алгоритмом разложения периодической функции в ряд Фурье.
Алгоритм разложения периодической функции в ряд Фурье:
1) Построить график заданной функции и ее периодического продолжения;
2) Установить период заданной функции;
3) Определить функция четная, нечетная или общего вида;
4) Проверить выполнимость условий теоремы Дирихле;
5) Составить формальную запись ряда Фурье, порожденного данной функцией;
6) Вычислить коэффициенты Фурье;
7) Записать ряд Фурье для заданной функции, используя коэффициенты ряда Фурье (п.4).
Пример 1. Функцию разложить в ряд Фурье на промежутке .
Решение:
1) Построим график заданной функции и его периодическое продолжение.

2) Период разложения функции .
3) Функция - нечетная.
4) Функция - непрерывная и монотонна на , т.е. функция удовлетворяет условиям Дирихле.
5) Вычислим коэффициенты ряда Фурье.













6) Запишем ряд Фурье, подставив коэффициенты Фурье в формулу



Ответ:


Пример 2. Разложим функцию с произвольным периодом в ряд Фурье.

Решение: функция определена на полуинтервале (-3;3]. Период разложения функции , полупериод . Разложим функцию в ряд Фурье


В начале координат функция разрывная, поэтому каждый коэффициент Фурье будем представлять в виде суммы двух интегралов.

















Запишем ряд Фурье, подставив найденные коэффициенты ряда Фурье в формулу.