Курсовая работа по математическому анализу ряды фурье и их применение

1.6. Разложение в ряд Фурье непериодической функции

1.6.1. Разложение в ряд Фурье функций на

Пусть функция задана на отрезке и удовлетворяет на этом отрезке условиям теоремы Дирихле. Выполним замену переменной. Пусть , где подберем так, чтобы получившаяся функция аргумента была определена на . Следовательно, считаем, что


Получившуюся в результате замены функцию можно разложить на в ряд Фурье:

где


Сделаем обратную замену ⇒ Получим

где

(19)

Ряд (18) – ряд Фурье по основной тригонометрической системе функций

Таким образом, получили, что если функция задана на отрезке и удовлетворяет на этом отрезке условиям теоремы Дирихле, то она может быть разложена в тригонометрический ряд Фурье (18) по тригонометрической системе функций (20) [8].
Тригонометрический ряд Фурье для четной функции , заданной на , будет иметь вид

где

для нечетной функции

где

Замечание! В некоторых задачах требуется разложить функцию в тригонометрический ряд Фурье по системе функций (20) не на отрезке , а на отрезке . В этом случае необходимо просто изменить пределы интегрирования в формулах (19) ((15), если , то есть в этом случае

(23)

или, если

(24)

Сумма тригонометрического ряда Фурье периодическая функция с периодом , являющаяся периодическим продолжением заданной функции . А для периодической функции справедливо равенство (4).

1.6.2. Разложение в ряд Фурье функций на

Пусть функция задана на и удовлетворяет на этом отрезке условиям теоремы Дирихле. Такую функцию также можно разложить в ряд Фурье. Для этого функцию нужно доопределить на промежуток и полученную функцию разложить в ряд Фурье на отрезке . При этом полученный ряд следует рассматривать только на отрезке , на котором функция задана. Для удобства вычислений доопределим функцию четным и нечетным образом.
1) Продолжим функцию на промежуток четным образом, то есть построим новую четную функцию , совпадающую на отрезке с функцией . Следовательно, график этой функции симметричен относительно оси и на отрезке совпадает с графиком . По формулам (21) найдем коэффициенты ряда Фурье для функции и запишем сам ряд Фурье. Сумма ряда Фурье для – периодическая функция, с периодом . Она будет совпадать с функцией на во всех точках непрерывности.

2) Доопределим функцию на промежуток нечетным образом, то есть построим новую нечетную функцию , совпадающую на с функцией . График такой функции симметричен относительно начала координат и на отрезке совпадает с графиком . По формулам (22) найдем коэффициенты ряда Фурье для функции и запишем сам ряд Фурье. Сумма ряда Фурье для – периодическая функция с периодом . Она будет совпадать с функцией на во всех точках непрерывности.

Замечания!
1) Аналогично можно разложить в ряд Фурье функцию, заданную на отрезке
2) Так как разложение функции на отрезке предполагает ее продолжение на отрезок произвольным образом, то и ряд Фурье для функции не будет единственным [3].

1.6.3. Разложение в ряд Фурье функций на

Пусть функция задана на произвольном отрезке длины и удовлетворяет на нем условиям теоремы Дирихле.

Тогда эта функция может быть разложена в ряд Фурье. Для этого функцию нужно периодически ( с периодом ) продолжить на всю числовую прямую и полученную функцию разложить в ряд Фурье, который следует рассматривать только на отрезке . В силу свойства (3) периодических функций имеем

Поэтому коэффициенты Фурье для полученного продолжения функции можно найти по формулам

(25)