Курсовая работа на тему: " " Студент группы 19. 09(р)

Классификация

2. Существование и единственность решения

Размерность ДУ равна количеству независимых переменных и для УЧП должна быть не меньше 2 (при 1 получается обыкновенное дифференциальное уравнение).

Есть линейные и нелинейные уравнения. Линейное уравнение представимо в виде линейной комбинации производных от неизвестных функций и самой искомой функции. Коэффициенты при этом могут быть либо постоянными, либо известными функциями. Линейные уравнения хорошо исследованы, за решение отдельных видов нелинейных уравнений назначены миллионные премии (задачи тысячелетия). Уравнения, линейные относительно старших производных, называются квазилинейными.
Уравнение является неоднородным, если в нём есть слагаемое, не зависящее от неизвестных функций, при его отсутствии уравнение называется однородным.
Порядок дифференциального уравнения определяется максимальным порядком производной. Имеют значение порядки по всем переменным.
Линейные уравнения второго порядка в частных производных подразделяются на параболические, эллиптические и гиперболические.
Линейное уравнение второго порядка, зависящее от двух независимых переменных имеет вид:

, (1.1)

где A, B, C - коэффициенты, зависящие от переменных x и y, а многоточие означает члены, зависящие от x, y, u и частных производных первого порядка: и . Это уравнение похоже на уравнение конического сечения:

. (1.2)

Так же, как конические сечения разделяются на эллипсы, параболы и гиперболы, в зависимости от знака дискриминанта D = − AC, классифицируются уравнения второго порядка в заданной точке:

- гиперболическое уравнение, (1.3)
- эллиптическое уравнение, (1.4)
- параболическое уравнение (1.5)

(здесь предполагается, что в данной точке коэффициенты A, B, C не обращаются в нуль одновременно).

В случае, когда все коэффициенты A, B, C - постоянные, уравнение имеет один и тот же тип во всех точках плоскости переменных x и y. В случае, если коэффициенты A, B, C непрерывно зависят от x и y, множество точек, в которых данное уравнение относится к гиперболическому (эллиптическому), типу образует на плоскости открытую область, называемую гиперболической (эллиптической), а множество точек, в которых уравнение относится к параболическому типу, замкнуто. Уравнение называется смешанным (смешанного типа), если в некоторых точках плоскости оно гиперболическое, а в некоторых - эллиптическое. В этом случае параболические точки, как правило, образуют линию, называемую линией смены типа или линией вырождения.
Хотя ответ на вопрос о существовании и единственности решения обыкновенного дифференциального уравнения имеет вполне исчерпывающий ответ (теорема Пикара - Линделёфа), для уравнения в частных производных однозначного ответа на этот вопрос нет. Существует общая теорема (теорема Коши-Ковалевской), которая утверждает, что задача Коши для любого уравнения в частных производных, аналитического относительно неизвестных функций и их производных имеет единственное аналитическое решение. Тем не менее, существуют примеры линейных уравнений в частных производных, коэффициенты которых имеют производные всех порядков и не имеющих решения (Леви (1957)). Даже если решение существует и единственно, оно может иметь нежелательные свойства, например, быть неустойчивым.
Рассмотрим последовательность задач Коши (зависящую от n) для уравнения Лапласа:


(2.1)

с начальными условиями:

; (2.2)
, (2.3)

где n - целое. Производная от функции u по переменной y равномерно стремится к 0 по x при возрастании n , однако решением уравнения является

. (2.4)

Решение стремится к бесконечности, если nx не кратно π для любого ненулевого значения y. Задача Коши для уравнения Лапласа называется плохо поставленной или некорректной, так как нет непрерывной зависимости решения от начальных данных.