Курсовая работа на тему: " " Студент группы 19. 09(р)

2.4. Решение уравнений математической физики
Существует два вида методов решения УМФ:
 аналитические, когда результат выводится различными математическими преобразованиями;
 численные, когда результат соответствует действительному с заданной точностью, но который требует много рутинных вычислений и, поэтому, выполним только при помощи вычислительной техники (ЭВМ).
Рассмотрим примеры решения уравнения колебаний струны (3.2) каждым из этих методов.
Рассмотрим задачу о колебаниях струны длины L. Будем считать, что на концах струны функция u(x,t) обращается в нуль (струна закреплена на концах):


. (2.4.5.)

В начальный момент времени зададим начальные условия:

; (2.4.6)
. (2.4.7)

Представим решение в виде:

. (2.4.8)

После подстановки в исходное уравнение колебаний, разделим на произведение X(x)T(t) получаем:

. (2.4.9)

Правая часть этого уравнения зависит от t, левая - от x, следовательно это уравнение может выполняться лишь тогда, когда обе его части равны постоянной величине, которую обозначим через − :

. (2.4.10)

Отсюда находим уравнение для X(x):

. (2.4.11)

Нетривиальные решения этого уравнения при однородных краевых условиях возможны только при и имеют вид:

. (2.4.12)

Рассмотрим уравнение для отыскания T(t):

. (2.4.13)

Его решение:

. (2.4.14)
Следовательно, каждая функция вида



(2.4.15)

является решением волнового уравнения.

Чтобы удовлетворить решение начальным условиям, составим ряд:



. (2.4.16)

Подстановка в начальные условия даёт:

. (2.4.17)

Последние формулы представляют собой разложение функций f(x) и g(x) в ряд Фурье на отрезке [0,L]. Коэффициенты разложений вычисляются по формулам:

. (2.4.18)

Данный способ решения называется методом конечных разностей. Он достаточно просто реализуем при помощи ЭВМ.

Этот метод основан на определении производной функции y = y(x):

. (2.4.19)

Если имеется функция u = u(x,t), то частичная производная будет следующая:

. (2.4.20)

Так как Δx достаточно мало, знаки пределов можно отбросить. Тогда получим следующие выражения для первых производных:

, (2.4.21)
. (2.4.22)

Для удобства в дальнейшем примем следующие обозначения:

, (2.4.23)
, (2.4.24)
,
Δx = h ,
Δt = . (2.4.25)

Тогда предыдущие выражения можно записать так:

,


. (2.4.26)

Эти выражения называют правыми разностями. Их можно записать и по-другому:

,

и левые разности:

. (2.4.27)

Просуммировав оба выражения получим следующее:

,
,

из которых следует аппроксимация первых производных в виде:

,
. (2.4.28)

Аналогично можно получить и аппроксимации производных второго порядка:

,
. (2.4.29)

Пусть для уравнения колебаний струны:

,

дополнительные условия заданы в виде: граничные условия

(ГУ): u = (t),

u = (t),

начальные условия

(НУ): = (x), (2.4.30)

= (x), (24.31)

где и - положение концов (креплений) струны во времени, а и - начальное состояние и скорость струны, откуда мы можем получить состояние струны в следующий момент времени по формуле:

. (2.4.32)

В вычислениях используют дискретизацию струны : длину L разделяют на одинаковые интервалы (шаги), длина которых h (рисунок 5.1).

Рисунок 5.1. Дискретизация расчётной области

Значения функции остальных x и t можно вычислить из уравнения колебаний струны:

,
,
. (2.4.33)

В результате получаем конечно - разностный аналог уравнения (3.33)

, (2.4.34)

откуда для расчёта получаем явную разностную схему:

. (2.4.35)

Таким образом, мы получили схему, по которой можно получить значения функции для любых x и t, используя значения функции при предыдущих x и t. Схематично её шаблон представлен на рисунке 5.2:

Рисунок 5.2. Шаблон явной разностной схемы расчёта

Этот метод даёт приближённое решение (в узлах сетки), порядок точности . Для повышения точности и устойчивости счёта необходимо использовать интервалы (шаги):

h < 0,1 и . (2.4.36)