Kurs ishi bajardi: Matematika

Ta’rif. Agar bo‘shmas A to‘plamning A_α (α∊I, I  N) qism to‘plamlari uchun quyndagi shartlar bajarilsa, ya’ni

a) barcha A_α (α= 1, 2, . . .) qism to‘plamlar bo‘sh emas;

b) α≠β bo‘lganda A_α∩A_β=∅ ;

c) A =∪A_α bo‘lsa (bu yerda ∪A_α belgi barcha A_α larning birlashmasini ifodalaydi), A to‘plam o‘zaro kesishmaydigan A_α qism to‘plam (sinf) larga bo‘laklangan (faktorizatsiyalangan) deyiladi.

Masalan, barcha butun sonlarni 3 ga bo‘lib, ularni bulishdan hosil bo‘lgan qoldiqlari bo‘yicha sinflarga ajratsak, Ζ = {3k | k∊Z } ∪ {3k+ 1 | k∊Z) U {3k+ 2 | k∊Z) hosil bo‘ladi. Bu yerda {3k | k∊Z), {3k + 1 | k∊Z } va {3k + + 2 | k∊Z } to‘plamlar yuqoridagi uchta shartni qanoatlantiradi.

Quyidagi teorema o‘rinli.

Teorema. Agar biror bo‘sh bo‘lmagan A to‘plam elementlari uchun ρ ekvivalentlik munosabati o‘rinli bo‘lsa, A to‘plam faktorizatsiyalangan bo‘ladi va aksincha, ya’ni A to‘plamning har bir faktorizatsiyasi shu to‘plamdagi biror ekvivalentlik munosabati bilan bog‘langan bo‘ladi.

Isboti. A to‘plamning ixtiyoriy x elementiga ρ munosabat bo‘yicha ekvivalent bo‘lgan barcha elementar to‘plamini C_x deb belgilaymiz, ya’ni C_x = {y∊A | yρx}.

C_x ning aniqlanishiga asosan C_xA . xρx o‘rinli bo‘lgani uchun x∊C_x. Demak, A ning har bir elementi qandaydir C_x kiem to‘plamga tegishli bo‘ladi.

Endi C_x ∩Cy =∅ ekanligini ko‘rsatamiz.

Agar C_x∩C_y≠∅ bo‘lsa, C_x =C_y bo‘ladi. Boshqacha qilib aytganda, C_x ekvivalentlik sinfi bo‘ladi. Haqiqatan, C_x∩C_y≠∅ bo‘lganda C_x va C_y larga tegishli bo‘lgan g element topiladi. Unda 𝕫∊C_x bo‘lgyani uchun 𝕫ρx rost. Xuddi shuninglek, 𝕫∊C_y bo‘lganidan z r u xam o‘rinli. r munosabat tranzitiv bo‘lgani uchun 𝕫ρx va 𝕫ρy lardan xr u yoki 𝕫∊C_y bo‘ladi.

𝕩 element S_x ning ixtiyoriy elementi ekanligidan

C_xC_y (1)

dir. ρ munosabatsimmetrik munosabat bo‘lgani tufayli 𝕫ρx va 𝕫ρy munosabatlar ham bajariladi. Bu munosabatlar y∈C_z va z∈C_y ekanligini ko‘rsatadi.

ρ munosabat tranzitiv bo‘lgani uchun 𝕫ρx, 𝕫ρy larga asosan 𝕫ρx deya olamiz. Oxirgi munosabatdan esa u £ Sx dir. u element Su ning ixtiyoriy elementi ekanligiga asosan

C_yC_x (2)

bo‘ladi. (1) va (2) dan C_x=C_y ligi kelib chiqadi.

Agar a, b ∈C_x bo‘lsa, unda aru va ru lar o‘rinli. Unda r simmetrii munosabat bo‘lganidan xpb o‘rinli bo‘ladi. arx va xrb larlan esa apb hosil bo‘ladi. Demak, ikkita element bshta sinfga tegishli bo‘lsa, unda ular ekvivalent bo‘lar ekan. Xuddi shuningdek, agar apb bo‘lsa, a £ Cb va b £ S bo‘ladi. Teoremaning birinchi qismi isbotlandi. Endi teoremaning ikkinchi qismini isbotlaymiz. Faraz qilaylik, {Va} to‘plam a £ N, A to‘plamning qandaydir faktorizaniyasi bo‘lsin. x £ Va va u £ Va bo‘lganda va faqat shundagina xru deb olamiz, bu qisqacha orqali yoziladi. Unda: 1) har bir x £ A element bittagina qism to‘plamga tegishli bo‘lganidan xrx o‘rinli, ya’ni r munosabat reflek2) x, u £ Va va u, z £ (4) bo‘lsa, yuqoridagi (3) munosabatga asosan xru va ypz bo‘ladi. Lekin u £ A element fakat bitta qism sinfga tegishli bo‘lgani uchun Va — V^ dir. Oxirgi munosabat esa (4) ga asosan x, z £ Vr ekanligini ko‘rsatadi. (3) munosabatga binoan esa x, u £ V^ ni xpz deb yoza olamiz. Shunday qilib, xru va ypz lardan xpz ning o‘rinli ekanligi hosil qilindi. Demak, r munosabat tranzitiv ekan; 3) x, u £ Va ekanligi x va u ning bitta sinfga tegishli ekanligini bildirgani uchun xru va urx munosabatlar bajariladi. Demak, r munosabat simmetrii munosabat bo‘ladi. 1) — 3) lar esa r ning A to‘plamdagi ekvivalentlik munosabati ekanligini tasdiqlaydi. Teorema to‘la nsbot bo‘ldi. Bundan so‘ng, agar biror A to‘plam r ekvivalentlik munosabati yordamida ekvivalentlik sinflariga bo‘laklangan bo‘lsa, bu ekvivalentlik sinflar to‘plamni A/p deb yuritamiz. A\r odatda faktor-to‘plam deyiladi. Misollar. 1. Z to‘plamning barcha elementlarini 9 ga bo‘lib chiqamiz. Agar Z ning elementlarini 9 ga bo‘lishdan hosil bo‘lgan qoldiqlar bo‘yicha sinflarga ajratsak, S0 = = {9A| k ye Z}, Sg = {9k + 1 I k JS Z}, . . , C8 = {96 + 8 1 ft € Z} sinflar hosil bo‘ladi. o‘z-o‘zidan ma’lumki, 1f} va 8 Q P S, = 0 va (J S, = Z bajariladi. ' /=o 2. Barcha natural sonlar to‘plamini qaralayotgan natural sonning tub yoki tub emasligi bo‘yicha ham faktorizatsiyalash mumkin. 3. M barcha ko‘pburchaklar to‘plamini ifodalasin. Bu ko‘pburchaklar to‘plamini tomonlari soni bo‘yicha tanlab olsak, ekvivalentlik siiflari hosil bo‘ladi. 4. To‘rtburchaklar to‘plamida ekvivalentlik munosabati sifatida tomonlarining parallelligi tushunchasyni kiritsak, mazkur to‘plam uchta ekvivalentlik sinfiga bo‘linadi. Ular: a) parallelogrammlar; b) trapesiyalar; v) hech qanday ikkita tomoni parallel bo‘lmagan to‘rtburchaklar to‘plamidan iborat.