Kurs ishi bajardi: Matematika

1.1-ta’rif. Agar A to‘plamning xar bir elementi B to‘plamga ham tegishli bo‘lsa, A to‘plam B to‘plamning qism to‘plami deyiladi va A  B bilan belgilanadi.

Ushbu ta’rifni qisqacha x A  x∊ B tarzida ifodalash mumkin. A to‘plamning elementlari B to‘plamga tegishli va aksincha, B to‘plamning elementlari A to‘plamga tegishli bo‘lsa, A va B to‘plamlar teng to‘plamlar deyiladi, ya’ni

A=B  AB va AB .

Ta’kidlash joizki, bo‘sh to‘plam ixtiyoriy to‘plamga qism bo‘ladi va xar qanday to‘plam o‘z-o‘ziga qism to‘plam bo‘ladi, ya’ni  A va A  A.

Agar AB bo‘lib, A  va AB bo‘lsa, u holda, A to‘plamga B to‘plamning xos qism to‘plami deyiladi.  va A to‘plamlarga xosmas qism to‘plamlar deyiladi. Ma’lumki, bo‘sh to‘plam va bitta elementdan iborat to‘plam xos qism to‘plamlarga ega emas.

Elementlari to‘plamlardan tashkil topgan to‘plamlarga to‘plamlar sistemasi deyiladi.

Misol 1. Tekislikdagi barcha to‘g‘ri chiziqlar to‘plami to‘g‘ri chiziqlar sistemasi bo‘lib, to‘g‘ri chiziq o‘z navbatida nuqtalardan iborat bo‘lgan to‘plamdir.

1.2-ta’rif. A va B to‘plamlarning umumiy elementlaridan tashkil topgan to‘plam A va B to‘plamlarning kesishmasi deyiladi va A∩B kabi belgilanadi (1-chizma).

Misol 1.2. A {0, 1, 5, 7} va B  { 6, 0, 1, 8} to‘plamlar uchun A∩B {0, 1} bo‘ladi.

3-xossa. Ixtiyoriy A,B,C to‘plamlar uchun quyidagi munosabatlar o‘rinli:

a) A∩A=A , A∩  ∩A   ;

b) A∩B=B∩A  (kommutativlik xossasi);

c) (A∩B)∩C=A∩(B∩C)  (assotsiativlik xossasi);

d) A ∩BA va A∩BB ;

e) Agar CA va CB bo‘lsa, u holda CA∩B .

1.4-ta’rif. A va B to‘plamlarning barcha elementlaridan tashkil topgan to‘plam A va B to‘plamlarning birlashmasi deyiladi va A B kabi belgilanadi (2-chizma).

Misol 3. A {0, 1, 5, 7} va B  { 6, 0, 1, 8} to‘plamlar uchun A∪B  { 6, 0, 1, 5, 7, 8}.

5-xossa. Ixtiyoriy A B C to‘plamlar uchun quyidagi munosabatlar o‘rinli:

a) A∪A=A  , A∪  ∪A ;

b) A∪B=B∪A  (kommutativlik xossasi);

c)  A∪B) ∪C=A∪(B∪C (assotsiativlik xossasi);

d) AA∪B va BA∪B ;

e) Agar CA va CB bo‘lsa, A∪BC bo‘ladi.

To‘plamlarning kesishmasi va birlashmasi uchun yuqorida keltirilgan 3 va 5 xossalaridan tashqari A B C to‘plamlar uchun kesishma va yig‘indini bog‘lovchi quyidagi xossalar o‘rinli.

6-xossa.

a) A∪ B∩C   A∪B ∩A∪C  ;

b) A∩(B∪C)=(A∩B) ∪(A∩C).

Isbot. Ushbu xossaning a) qismini isbotini keltirish bilan chegaralanamiz. Buning uchun, tenglikning chap tomoni o‘ng tomoniga va aksincha, o‘ng tomoni chap tomoniga qism ekanligini ko‘rsatamiz:

x A∪ B∩C   xA yoki xB∩C , bundan xB va xC hosil bo‘ladi. Demak, xA∪B va xA∪B bo‘lib, x A∪B ∩A∪C  ekanligini hosil qilamiz.

Xuddi shu usulda o‘ngdan chapga qarab, mulohaza yuritilsak:

x A∪B ∩A∪C   x A∪B va xA∪C , bundan esa xA yoki x B va xC hosil bo‘ladi. Demak, xA∪B∩C.