|
6-misol. tenglama yechilsin.
Y e c h i s h .
bundan va
va ;
1.5-§. Tenglamasini kvadrat radikallarda yechib bo’lmaydigan geometrik masalalar.
Bazi bir geometrik yasashlarni bajarishda ko’pincha sirkul va chizg’ichdan foydalaniladi.
Quyidagi 3 ta masalani garchi boshqa yasash qurollari yordamida bajarish mumkin bo’lsada, lekin faqat chizg’ich va sirkul yordamida hal etish mumkin emasligini masalasi diqqatga sazovordir. U masalalar quyidagilardan iborat:
1. Kubni ikkilash.
2. Burchakni teng 3 bo’lakka bo’lish.
3. Muntazam yettiburchakni chizish.
Masalalar. 1. Hajmi x ga teng bo’lgan kubni ikkilash. Bu masala
tenglamani kvadrat radikallarda yechish degan so’zdir.
Avvalo tenglama rasional sonlar maydoni, yani da ildizga ega amasligini ko’rsataylik.
Biz bu masalaning teskarisini faras qilib, tenglama ga tegishli ildizga ega deylik. U holda ko’phad da ikkita ko’paytuvchi ko’paytmasiga yoyilib, ulardan biri bo’lganda albatta ko’rinishga ega bo’lar edi. Lekin bunday bo’lishi mumkin emas, chunki ko’phad rasional sonlar maydoni ustida keltirilmaydigan ko’phaddir.
maydon sifatida rasional sonlar maydonini olib, tenglamaga ,,kengaytmalar” mavzusidagi natijani qo’llaymiz. Bu natijaga ko’ra daraja darajaga bo’linadi. Lekin , bo’lganidan u 3 ga bo’linmaydi. Demak, kubni ikkilash masalasi kvadrat radikallarda yechilmaydi yoki boshqacha aytganda, kubni faqat sirkul va chizg’ich yordamida ikkita kubga bo’lish mumkin emas.
2. Burchakni 3 ta (teng) kongrunt bo’laklarga bo’lish. Bu masalaning mohiyati shundan iboratki, burchakni faqat chizg’ich va sirkul yordamida 3 ta kongunt bo’lakka bo’lib bo’lmaydi.
Bu deganimiz har qanday burchakni ham 3 ta kongrunt bo’lakka bo’lish mumkin emas degan so’z emas. Shunday burchaklar borki ( masalan 90°, 180° ), bularni sirkul va chizg’ich yordamida 3 ta kongrunt bo’lakka osongina bo’lish mumkin. Lekin istalgan burchakni 3 ta kongrunt bo’lakka bo’lishning qatiy usuli mavjud emas. Hozir shu tasdiqni isbotlash bilan shug’ullanamiz. Buning uchun qaralayotgan masalani algebraik moxiyati nuqtai nazaridan tekshiramiz.
Faras qilaylik, biror burchakning kosinusi berilgan bo’lsin, yani bo’lsin. Unda masala miqdorni o’lchashga keltiriladi. Ushbu
tengmala berilgani uchun
ko’rinishni oladi.Qiyilgan masalani burchak uchun qaraymiz. da
ko’rinishga ega bo’ladi.
Maqsadimiz, tenglamaning birorta ham rasional ildizga ega emasligini ko’rsatishdan iboratdir. Bu tasdiqning to’g’riligini ko’rsatish uchun v=2x almashtirish kiritib, ni
shaklga keltirib olamiz.
Faraz qilaylik, bo’lganda tenglama ildizga ega bo’lsin. ni ga quyib,
ga ega bo’lar edik. ning chap tomoni r ga bo’linadi. Ikkinchidan, bo’lgani uchun son ga bo’linadi. bo’lgani uchun yuqoridagi shartlar faqatgina bo’lgandagina bajariladi. Demak, ekan. Lekin ham, ham ni qanoatlantirmaydi, yani qarama-qarshilikka uchradik.
Demak, tenglamaning birorta ildizi ham rasional sonlar maydoniga tegishli emas ekan, yani qiyilgan masalani faqatgina sirkul va chizg’ich yordamida yechish mumkin emas ekan.
3. Muntazam yettiburchakni yasash. Faraz qilaylik, muntazam yettiburchak birlik doira ichida chizilgan bo’lib, uning bir tomoni uzunligi x bo’lsin.
Agar bu yettiburchak uchlarining koordinatalarini desak, bu koordinatalar
tenglamaning ildizlaridan iborat bo’ladi. da dir. Biz qarayotgan hol uchun bo’ladi. Demak, tenglama
K o’rinisha oladi. tenglamaning bitta ildizi bo’gani uchun uni
ko’rinishda yozib olamiz. ning ikkala tomonini ga bo’lib,
ni hosil qilamiz. ning chap tomoni va ning simmetrik funksiyasidir. Shuning uchun uni asosiy simmetrik ko’phadlar, yani hamda lar orqali ifodalay olamiz. U holda ushbu tenglik hosil bo’ladi:
Agar tenglikda desak, u holda dan
tenglikni hosil qilamiz. So’ngra
va
lar o’zaro qo’shma kompleks sonlardir. Ularni qo’shib,
ifodani hosil qilamiz. Endi, biz u ifodani sirkul va chizg’ich bilan ko’ra olsak, ga asoslanib, ifodani ham ko’ra olamiz va aksincha. Lekin u ifodani ko’rish masalasi tenglamaning birorta rasional ildizga ega bo’lishi masalasi bilan bog’likligini biz bilamiz. Shuning uchun tenglamaning rasional ildizlari yo’qligini ko’rsata olsak kifoya.
Teskarisini faraz qilaylik, yani shunday va butun sonlar mavjudki, qisqarmaydigan kasr ning ildizi bo’lsin. Unda tenglama
ko’rinishni oladi. tenglikni va kabi yozib, ning ga va, aksincha, ning ga bo’linishiga erishamiz. Bunday holat bo’lgani uchun faqatgina bo’lganda yuz beradi. Demak, , son ning ildizi ekan. Lekin soni ning ildizi emasligini bevosita tekshirib bilish mumkin. Bundan esa qilgan farazimizning noto’g’ri ekanligi kelib chiqadi, yani rasional ildizga ega emas. Demak, muntazam yettiburchak faqatgina chizg’ich va sirkul yordamida chizish mumkin emas.
Xulosa
Kurs ishi kirish, asosiy qism, xulosa va foydalanilgan adabiyotlardan iborat. Kirish qismida yurtimizda ta’lim sohasida olib borilayotgan islohotlar, ularning samarali natijasi va mavzu bo’yicha boshlang’ich ma’lumotlar berildi.
Men bu “Tenglamalarning kvadrat radikallarda yechilishi. Kvadrat radikllarda yechilmaydigan masalalar” mavzuyimni turli xil adabiyotlardan foydalanib qisqacha bo’lsada yoritib berishga harakat qildim.
Bizga ma’lumki tenglamalarning radikallarda yechilishi algebra va sonlar nazariyasi fanining muhim rivojlanayotgan tarmoqlaridaan biri bo’lib hisoblanadi. Ayniqsa tenglamaning kvadrat radikallarda yechlish jarayoni salohiyati va amaliy qo’llana bilishi jihatidan muhim ahamiyat kasb etadi va u juda ko’p tushunchalarni o’z ichiga oladi. Algebraik tenglamani kvadrat radikallarda yechish masalasi matematiklarni uzoq vaqtlardan beri qiziqtirib kelgan masalalardan biridir.
Men kurs ishini yozish davomida quyidagilarni o’rgandim:
1. Tenglamalarning radikallarda yechilish tushunchasi.
2. Tenglamalarning kvadrat radikallarda yechilishi haqida.
4. Uchinchi darajali tenglamalar.
5. Ba’zi yuqori darajali tenglamalarni yechish.
6. Tenglamalarning radikallarda yechib bo’lmaydigan holatlari.
7. Tenglamasini kvadrat radikallarda yechib bo’lmaydigan geometrik masalalar.
Do'stlaringiz bilan baham: |
