Koshi masalasi yechimining mavjudligi va yagonaligi

Yagonaligi. Aytaylik, , funksiyalar (1.1) differensial tenglamani va (1.2) boshlang’ich shartni qanoatlantirsin. Bundan tashqari ularning grafiklari to’g’ri to’rtburchakda joylashsin, ammo

bo’lsin. U holda ushbu


tengliklardan, avvalo

so’ngra

munosabatni olamiz. Bu tenglikning ikki tomonini integrallab

ifodani olamiz. Lipshits shartidan foydalanib, oxirgi munosabatni baholaymiz:

ya’ni

bahoni olamiz. Ushbu

belgilashlarni olib, Gronuolla tengsizligidan foydalansak ekanligiga ishonch hosil qilamiz. Teorema to’la isbot bo’ldi. ■
Ko’pchilik hollarda (1.1), (1.2) Koshi masalasining yechimi bilan (1.6) tengliklar orqali aniqlangan yaqinlashish orasidagi farqni hisoblashga to’g’ri keladi. Buning uchun ushbu ayirmani baholashga to’g’ri keladi. Avvalo biz quyidagi

ko’rinishda yozib olamiz. So’ngra bu tenglikning ikki tomonida da limitga o’tib

munosabatni hosil qilamiz. Bundan va (1.10) tengsizlikdan foydalanib, quyidagi ayirmani baholaymiz:



ya’ni
(1.16)
Bu yerda
Lipshits o’zgarmasi.

2. 
   Koshi masalasining korrektligi.
   

Quyidagi
(2.1)
(2.2)
Koshi masalalarini qaraylik. Aytaylik, , funksiyalar bu Koshi masalalarining yechimlaridan iborat bo’lsin. Bu yerda

Ta’rif-1. Agar soni uchun soni topilib ushbu
(2.3)
tengsizliklari bajarilganda
(2.4)
baho o’rinli bo’lsa, Koshi masalasi korrekt deyiladi.
Teorema-1. Aytaylik soxada
va funksiyalar uzluksiz bo’lib, o’zgaruvchi bo’yicha Lipshits shartini qanoatlantirsin. U holda Koshi masalasi korrekt bo’ladi.
Isbot. Quyidagi belgilashni kiritaylik:

Berilgan (2.1), (2.2) Koshi masalalaridan

munosabatni topamiz va uni oraliq bo’yicha integrallab


tenglikni hosil qilamiz. Bu yerda Lipshits shartidan va uchburchak tengsizligidan foydalanib quyidagi bahoni olamiz:



Agar belgilashdan va Gronuolla tengsizligidan foydalansak, oxirgi bahodan

(2.5)
kelib chiqadi. Bu yerda sonini olib deb tanlasak, oxirgi tengsizlikdan , bo’lganda

baho kelib chiqadi. Bu esa Koshi masalasining korrektligini ko’rsatadi. ■
Endi, ushbu
(2.6)
Koshi masalasining yechimini boshlang’ich shartga uzluksiz bog’liqligini o’rganamiz. Buning uchun quyidagi Koshi masalasini ham qaraymiz:
. (2.7)