Koshi masalasi yechimining mavjudligi va yagonaligi

Ta’rif-2. Agar soni uchun soni topilib tengsizligi bajarilganda

baho o’rinli bo’lsa, (2.6) Koshi masalasining yechimi boshlang’ich shartga uzluksiz ravishda bog’liq deyiladi.
Teorema-1 da olingan (2.5) bahodan quyidagi natijalar kelib chiqadi.
Natija-1. Agar funksiya Koshi teoremasining shartlarini qanoatlantirsa, u holda (2.6) masalaning yechimi boshlang’ich shartga uzluksiz ravishda bog’liq bo’ladi.
Isbot. Qaralayotgan holda bo’lgani uchun (2.5) tengsizlik quyidagi

ko’rinishni oladi. Bunda ekanligi inobatga olindi.
Agar sonini olib, sonini deb tanlasak, u holda tengsizligi bajarilganda

baho o’rinli bo’ladi. Bu esa (2.6) Koshi masalasining yechimi boshlang’ich shartga uzluksiz bog’liq ekanini bildiradi. ■
Nihoyat (2.5) bahodan Koshi masalasi differensial tenglamaning o’ng tomoniga uzluksiz bog’liq ekanligi ham kelib chiqadi.
Aytaylik, (2.1), (2.2) masalalarda bo’lsin, u holda


munosabatlarga ega bo’lamiz.
Natija-2. Agar funksiyalar Koshi teoremasining shartlarini qanoatlantirsa, u holda Koshi masalasining yechimi differensial tenglamaning o’ng tomoniga uzluksiz ravishda bog’liq bo’ladi.
Isbot. Qaralayotgan holda bo’lgani uchun (2.5) tengsizlik quyidagi ko’rinishda yoziladi:

Ixtiyoriy sonini olib, sonini ko’rinishda tanlasak, tengsizligi bajarilganda

baho bajariladi. Bu esa Koshi masalasining yechimi differensial tenglamaning o’ng tomoniga uzluksiz ravishda bog’liq ekanligini bildiradi. ■
Demak, Koshi masalasi korrekt bo’lishi uchun uning yechimi boshlang’ich shartga va differensial tenglamaning o’ng tomoniga uzluksiz bog’liq bo’lishi kerak ekan.

3. 
   Differensial tenglama yechimining silliqligi.
   

Ushbu
(3.1)

differensial tenglamani qaraylik.
Teorema-1. Faraz qilaylik, funksiya o’zgaruvchilar bo’yicha marta uzluksiz differensiallanuvchi bo’lsin. U holda (3.1) differensial tenglamaning ixtiyoriy yechimi marta differensiallanuvchi bo’ladi.
Isbot. Aytaylik, bo’lsin. U holda (3.1) differensial tenglamaning yechimi uzluksiz differensiallanuvchi bo’ladi. Shuning uchun (3.1) tenglamani ushbu
(3.2)
ko’rinishda yozish mumkin. Teorema shartiga ko’ra o’zgaruvchilar bo’yicha differensiallanuvchi bo’lgani uchun bir o’zgaruvchining funksiyasi sifatida uzluksiz differensiallanuvchi bo’ladi.(bunda murakkab funksiyaning differensiallanuvchiligi haqidagi teoremaga asoslanildi). Bundan (3.2) ayniyatning o’ng tomoni uzluksiz differensiallanuvchi ekanligi, ya’ni hosilaning mavjudligi kelib chiqadi.
Aytaylik, bo’lsin. U holda (3.2) ayniyatning ikki tomonini differensiallab
(3.3)
tenglikni hosil qilamiz. Bu ayniyatga yuqoridagi g’oyani qo’llab yechimning uchinchi tartibli hosilasining mavjudligini ko’rsatish mumkin. Shu jarayonni ketma-ket marta qo’llash natijasida yechimning marta differensiallanuvchi ekanligini ko’rsatish mumkin. ■

4. 
   Differensial tenglama yechimining parametrlarga va boshlang’ich shartlarga bog’liqligi.
   

Biror fizik jarayonni tavsiflovchi differensial tenglama parametrlarga (jumladan massa, elastiklik koeffitsiyentlari va hakoza fizik kattaliklar) bog’liq bo’ladi. Bu parametrlarning qiymatlarini real masalalarda aniq o’lchamini hisoblashning imkoni yo’q, odatda taqribiy hisoblanadi. Ma’lum jarayonni tavsiflovchi differensial tenglamani keltirib chiqarish jarayonida ham xatolikka yo’l qo’yiladi.
Shuning uchun differensial tenglama real jarayonni tavsiflashi uchun, uning yechimi parametrlarga uzluksiz ravishda bog’liq bo’lishi kerak, ya’ni parametrlarning kichik o’zgarishiga differensial tenglamaning yechimi ham mos ravishda kichik o’zgarishi lozim.