Koshi masalasi yechimining mavjudligi va yagonaligi

Misol-2. Ushbu
(4.20)
masala yechimining bo’yicha yoyilmasini gacha aniqlikda toping.
Yechish. Berilgan tenglama o’ng tomoni

sohada barcha tartibli hosilalarga ega. da berilgan masala ushbu

ko’rinishni oladi. Bu masala yechimga ega. Berilgam masalaning yechimini

ko’rinishda izlaymiz. Bu yerda . Shuning uchun yuqoridagi yoyilma ushbu
(4.21)
ko’rinishni oladi. (4.21) yoyilmani (4.20) tenglamaga qo’yamiz:

Endi ushbu

yoyilmadan foydalanib,

tenglikni hosil qilamiz. Bundan ushbu
(4.22)
(4.23)
Koshi masalalarini topamiz. Avvalo (4.22) tenglamaning bir jinsli qismining umumiy yechimini topamiz:
1)
.
So’ngra (4.22) tenglamaning xususiy yechimini topamiz:

Demak, biz izlagan xususiy yechim quyidagi

ko’rinishda bo’lar ekan. Bundan va boshlang’ich shartdan foydalanib (4.22) Koshi masalasining yechimini topamiz:

Endi quyidagi

masalaning yechimini topamiz. Bu tenglamani yechish uchun, avvalo uning bir jinsli qismini yechamiz:
.
Endi, bir jinsli bo’lmagan differensial tenglmaning yechimini Lagrang usulidan foydalanib topamiz:




Demak, (4.21) formulaga asosan berilgan (4.20) masalaning yechimi uchun quyidagi

asimptotik yoyilma o’rinli bo’lar ekan.