Koshi masalasi yechimining mavjudligi va yagonaligi

Teoremani isboti (Mavjudligi). Berilgan differensial tenglamani ushbu

ko’rinishda yozib, uni interval bo’yicha integrallaymiz:

Hosil bo’lgan bu tenglikda (2) boshlang’ich shartdan foydalanib
(1.5)
munosabatni hosil qilamiz. Bu munosabat funksiyaga nisbatan integral tenglamadir. Shunday qilib, agar funksiya (1.1)-(1.2) Koshi masalasining yechimi bo’lsa, u holda (1.5) integral tenglamani qanoatlantirar ekan. Aksincha, agar uzluksiz funksiya (1.5) integral tenglamaning yechimi bo’lsa, u holda berilgan (1.1)-(1.2) Koshi masalasining ham yechimi bo’lishini ko’rsatish mumkin. Haqiqatan ham uzluksiz funksiya (1.5) integral tenglamani qanoatlantirsin. U holda funksiya sohada uzluksiz bo’lgani uchun

munosabatning o’rinli bo’lishi “Matematik analiz” fanidan ma’lum. Yuqoridagi (1.5) tenglikning ikki tomonini differensiallab

ekanligini topamiz. (1.2) boshlang’ich shartning bajarilishi (1.5) tenglikdan ko’rinib turibdi:
.
Shunday qilib, (1.1)-(1.2) Koshi masalasi (1.5) integral tenglamaga ekvivalent ekan. Shuning ushun (1.1)-(1.2) Koshi masalasi yechimini mavjudligini ko’rsatish o’rniga, unga ekvivalent bo’lgan (1.5) integral tenglama yechimini mavjudligini ko’rsatamiz. Buning uchun ketma-ket yaqinlashishlar (Pikar) usulidan foydalanamiz.
Quyidagi
(1.6)
formulalar yordamida funksional ketma-ketlikni tuzib olamiz. Bu yerdagi funksiyalarning har biri (1.2) boshlang’ich shartni, ya’ni qanoatlantiradi.
Endi, ushbu
,
ayirmalarni baholaymiz:
(1.7)

Bundan ko’rinadiki, agar lar ushbu

tengsizlikni qanoatlantirsa, u holda (1.7) bahodan
(1. )

tengsizliklar kelib chiqadi. Bu esa funksiyalarning grafiklari larda to’g’ri to’rtburchakdan chiqib ketmasligini ko’rsatadi. Shunday qilib, tengsizlik bajarilsa, funksiyalarning grafiklari

to’g’ri to’rtburchakda joylashar ekan.
Endi, har bir tayinlangan larda ushbu sonli ketma-ketlikning da chekli limiti mavjudligini ko’rsatamiz va uni
(1.8)
orqali belgilaymiz. Shu maqsadda, matematik induksiya usulini qo’llab
(1.9)
bahoning o’rinli bo’lishini ko’rsatamiz. Bu baho da o’rinli:

Aytaylik, (1.9) tengsizlik biror uchun bajarilsin. U holda (1.9) bahoni uchun bajarilishini ko’rsatamiz. Lipshits shartidan foydalanib quyidagi ayirmani baholaymiz:

Agar deb, ushbu

belgilashdan foydalansak, (1.9) baho quyidagi
(1.10)
ko’rinishni oladi. Avvalo ketma-ketlik ushbu

tengsizlikni qanoatlantirishini ko’rsatamiz. Buning uchun ketma-ketlikni tuzib olamiz. Ko’rinib turibdiki,

munosabat o’rinli. Bunga ko’ra, shunday nomer topiladiki, tengsizlik larda bajariladi. Bu esa ya’ni ketma-ketlikning hadlari nomerdan boshlab kamayuvchi va chegaralangan ekanligini ko’rsatadi. Demak, Shuning uchun

tengsizlik bajariladi. Bundan va (1.10) tengsizlikdan
(1.11)
baho kelib chiqadi.
Endi , ketma-ketlik Koshi kriteriyasini qanoatlantirishini ko’rsatamiz. Buning uchun quyidagi ayirmani baholaymiz:



(1.12)
Bu tengsizlikdan

ekanligi kelib chiqadi. Bu esa ketma-ketlikning fundamentalligini va Koshi kriteriyasiga asosan uning (1.8) ko’rinishdagi chekli limitga ega ekanligini ko’rsatadi.
Quyidagi

geometrik progressiya yig’indisini topish formulasidan foydalanib, (1.12) tengsizlikni

ko’rinishda yozish mumkin. Bu tenglikda da limitga o’tib, (1.8) munosabatni inobatga olsak,

kelib chiqadi. Barcha larda (1.8) limitning mavjudligi ning shu kesmada aniqlangan funksiya ekanligini bildiradi.
Endi funksiyani kesmada uzluksizligini va uning grafigi to’g’ri to’rtburchakda yotishini ko’rsatamiz. Buning uchun ikki nuqta olib ushbu ayirmani baholaymiz:

Bu oxirgi tengsizlikda da limitga o’tsak,

baho kelib chiqadi. Bundan esa funksiyaning kesmada uzluksizligi kelib chiqadi.
Yuqorida isbotlangan (1. ), ya’ni

tengsizlikda da limitga o’tib,

bahoni olamiz. Bu esa funksiyaning grafigi to’g’ri to’rtburchakda joylashishini ko’rsatadi.
Nihoyat uzluksiz funksiyani (1.5) integral tenglamani qanoatlantirishini ko’rsatamiz. Avvalo Lipshits shartidan foydalanib quyidagi ayirmani baholaymiz:

Quyidagi


tengsizlikda da limitga o’tib, ushbu

integral tenglamani hosil qilamiz. Bu esa uzluksiz funksiya (1.5) integral tenglamaning yechimidan iborat ekanligini bildiradi. Shunday qilib, (1.1)-(1.2) Koshi masalasining kesmada aniqlangan yechimi mavjud ekan.
Berilgan (1.1)-(1.2) Koshi masalasi yechimining yagonaligini ko’rsatish uchun quyidagi tasdiqdan foydalanamiz.
Lemma-1 (Gronuolla). Faraz qilaylik, kesmada funksiyalar uzluksiz va manfiy bo’lmasin. Agar ular uchun, ushbu
(1.13)
baho o’rinli bo’lsa, u holda
(1.14)
tengsizlik bajariladi.
Isbot. Aytaylik, bo’lsin. U holda (1.13) tengsizlikda modul ishorasini tashlab va uni ga ko’paytirsak,
(1.15)
hosil bo’ladi. Oxirgi (1.15) tengsizlikni ushbu

munosabatdan foydalanib

ko’rinishda yozish mumkin. Bu tengsizlikning ikkala tomonini integrallab

munosabatni hosil qilamiz. Bundan

kelib chiqadi, lemma shartidagi (1.13) tengsizlikka asosan

baho hosil bo’ladi. Bu baho larda ham o’rinli. Chunki larda (1.13) tengsizlikni quyidagi

ko’rinishda yozish mumkin. Bundan ham

kelib chiqadi.
Agar bo’lsa, u holda bo’ladi. Haqiqatan ham

bo’lsa, (1.14) dan

bahoga ega bo’lamiz. Bundan da olamiz, bu esa shartga zid. Shuning uchun . ■