Ko’paytuvchilarga ajratish usuli Misol 1

Qoldiqlar nazariyasidan foydalangan holda Diofant tenglamalarini yechish

Agar butun _{ } sonlari _{ } ga bo’lganda bir xil qoldiq bersa, u holda bu sonlar _{ } modul bo’yicha o’zaro taqqoslanadi deyiladi va _{ } kabi belgilanadi.

Misol 1. Quyida berilgan tenglama butun sonlarda yechimga ega emasligini ko’r-sating:

Isbot: _{ } almashtirib olib berilgan tenglamaga teng kuchli bo’lgan
2001_{ }
tenglamaga kelamiz. U esa uchga bo’lingandagi qoldiq bo’yicha qaralganda butun sonlarda yechimga ega emas.
Misol 2. (ELMO-2012 Xalqaro Matematika Olimpiadasi)
_{ } tenglamani natural sonlarda yeching.
Yechim:
1-hol. n-juft son bo’lsin. (mod 5) bilan qarasak osongina n=2_{ }ekanligini topamiz.

_{ }3(mod 5)
_{ } ziddiyat.
2-hol. n-toq son bo’lsin. (mod13) bilan qarasak,
_{ }mod _{ 
 }mod_{ 
 }mod_{ } ziddiyat.
Tenglama natural sonlarda yechimga ega emas ekan.
Misol 3. (Serbiya-2015)
Tenglamani natural sonlarda yeching:

Yechim: Tenglikni ikkala tomonini (mod 3)bilan taqqoslasak:
_{ }(mod 3)_{ } bundan y juft son ekanligi kelib chiqadi.
1-hol.x_{ }Endi (mod 9) bilan ishlasak. _{ }(mod 9)
_{ }mod_{ }
x_{ }ekanligidan _{ }mod_{ } demak, _{ }(mod 9) ekan.
Oxirgi taqqoslamadan y=6k+2 ko’rinishda ekanligini topamiz.

Endi (mod 7) bilan ishlaymiz.
_{ }mod_{ 
 }mod_{ }
Yuqoridagi tengliklardan _{ }mod_{ } ekanligini topamiz.
Lekin _{ }mod_{ } , x toq son bo’lsa.
Bundan kelib chiqadiki, x juft son ekan.


(_{ } (_{ 
 }soni (_{ } ga bo’linar ekan. Lekin
(_{ } ziddiyat.
Bu holda yechimga ega emas ekan.
2-hol. x=1 bo’lsin. U holda y=2016.