Ko’paytuvchilarga ajratish usuli Misol 1

Diofant tenglamalarini tengsizliklar yordamida yechish.


Misol 1. Tenglamani butun sonlarda yeching:

Yechish: _{ } ko’rinishidagi barcha sonlar tenglamaning yechimi bo’la olishi ravshan (_{ }-ixtiyoriy butun son). Endi tenglamani _{ }shartni qanoatlan-tiruvchi yechimlarini izlaylik. Bunda berilgan tenglamaga teng kuchli bo’lgan qu-yidagi tenglikga kelamiz:
_{ }, yoki

Bu tenglikga ko’ra _{ } lar _{ } kesmaga qarashli bo’lishini topamiz. Bu kesma-dagi butun sonlar sifatida (0,1), (1,0), (1,2), (2,1), (2,2) yechimlarga ega bo’lamiz.
Javob: (0,1), (1,0), (1,2), (2,1), (2,2)
Misol 2. (Ruminiya)
Berilgan tenglamani natural sonlardan iborat barcha yechimlarini aniqlang:

Yechish: Berilgan tenglama o’zgaruvchilarga nisbatan simmetrik, shuning uchun ham umumiylikga zarar yetkazmagan holda 2_{ } deb olishimiz mumkin.
U holda berilgan tenglikga ko’ra, _{ } ya’ni _{ } munosabatga ega bo’lamiz.
Agar _{ } bo’lsa, u holda _{ } tenglikga ega bo’lamiz. Bundan esa _{ } ekanligini topamiz. _{ }=10+_{ } , 100_{ }. Bundan ye-chimlar (2,11,110), (2,12,60), (2,14,35), (2,15,30), (2,20,20).
Agar _{ } bo’lsa _{ } tenglikga ega bo’lamiz. Bundan esa _{ }3,4…,7_{ }
ekanligini topamiz va (3,4,60), (3,5,15), (3,6,10) yechimlarga ega bo’lamiz.
Agar_{ } bo’lsa _{ } tenglikga ega bo’lamiz. Bundan esa _{ } ekanligini topamiz va (4,4,10) yechimga ega bo’lamiz.
Agar_{ }bo’lsa _{ } tenglikga ega bo’lamiz. Bundan esa _{ } ekanligini topamiz va (5,5,5) yechimga ega bo’lamiz.
Javob: (2,11,110), (2,12,60), (2,14,35), (2,15,30), (2,20,20), (3,4,60), (3,5,15), (3,6,10), (4,4,10), (5,5,5) va ushbu yechim permutatsiyalari.
Misol 3. Tenglamaning natural sonlardan iborat barcha yechimlarini toping:

Yechish: Bizga ma’lumki,

Bu esa

Ya’ni
_{ }, ekanligini bildiradi.
Demak, _{ } va _{ }
Bundan esa _{ } ekanligini topamiz.
Javob: Tenglamaning yechimlari barcha (m,m,n,2m+n) to’rtliklardan iborat.
Misol 4. (Polsha-2002)
_{ } natural sonlar va (_{ }tub sonlar bo’lsa, tenglamani yeching:
(_{ }
Yechim:Umumiylikga zarar yetkazmagan holda a_{ }deb olamiz.

_{ }tub son bo’lganligi uchun (c+b) yoki (c-b) _{ }soniga bo’linadi.Agar
(c-b) soni _{ }ga bo’linsa, _{ }farazimizga ko'ra no-to' g'ri,chunki biz_{ }deb oluvdik_{ }Demak shunday k natural son mavjudki,
c+b=k(_{ }+1) , ushbu tenglikdan _{ } ni topamiz.
_{ }bundan esa k_{ }ekanligini topamiz.
1).k=1 bo’lsin.a=b-1. Bizda (_{ }va_{ }tub sonlar. Lekin ushbu sonlardan bittasi juft, bittasi toq. b-1=1, b=2, a=1, c=3.
2).k=2 bo’lsin. U holda _{ }ziddiyat.