Ko'p o'zgaruvchilarning funktsiyalari

Maslahat
(Z = -x ^ 2-y ^ 2 + 2x + 4y-1 ) tenglamada (y = 3 ) ni o'rnating va kvadratni to'ldiring.
Qaror
(z = 3− (x-1) ^ 2 ). Ushbu funktsiya parabolani (y = 3 ) tekislikda pastga qarab ochilishini tavsiflaydi.
Ikki o'zgaruvchining funktsiyalari bir nechta ajoyib ko'rinadigan sirtlarni hosil qilishi mumkin. ( PageIndex {11} ) rasmda ikkita misol keltirilgan.

Ikki o'zgaruvchidan ko'proq funktsiyalar
Hozircha biz faqat ikkita o'zgaruvchining funktsiyalarini ko'rib chiqdik. Biroq, ikkitadan ortiq o'zgaruvchiga ega funktsiyalarni qisqacha ko'rib chiqish foydalidir. Bunday ikkita misol
[ underbrace {f (x, y, z) = x ^ 2−2xy + y ^ 2 + 3yz-z ^ 2 + 4x-2y + 3x-6} _ { text {uchta o'zgaruvchida ko'pburchak}} ]
va
[g (x, y, t) = (x ^ 2-4xy + y ^ 2) sin t− (3x + 5y) cos t. ]
Birinchi funksiyada ((x, y, z) ) fazodagi nuqtani bildiradi va (f ) funktsiya fazodagi har bir nuqtani harorat yoki shamol tezligi kabi to'rtinchi kattalikka tushiradi. Ikkinchi funksiyada ((x, y) ) tekislikdagi nuqtani, (t ) esa vaqtni aks ettirishi mumkin. Funktsiya tekislikdagi nuqtani berilgan vaqtda (t ) uchinchi miqdorga (masalan, bosim) aks ettirishi mumkin. Ikki o'zgaruvchidan ko'proq funktsiya sohasini topish usuli bir yoki ikkita o'zgaruvchiga ega bo'lgan funktsiyalarga o'xshashdir.
Misol ( PageIndex {6} ): Uch o'zgaruvchining funktsiyalari uchun domenlar
Quyidagi funktsiyalarning har birining domenini toping:

1. 
   (f (x, y, z) = dfrac {3x-4y + 2z} { sqrt {9-x ^ 2-y ^ 2-z ^ 2}} )
   
2. 
   (g (x, y, t) = dfrac { sqrt {2t-4}} {x ^ 2-y ^ 2} )
   

Qaror:
a. (F (x, y, z) = dfrac {3x-4y + 2z} { sqrt {9-x ^ 2-y ^ 2-z ^ 2}} ) funktsiyasi uchun (va bo'lishi kerak) (haqiqiy qiymat), ikkita shart quyidagicha bo'lishi kerak:

1. 
   Mahraj qila olmaydi nolga teng
   
2. 
   Radikand qila olmaydi salbiy bo'ling.
   

Ushbu shartlarni birlashtirish tengsizlikka olib keladi
[9 − x ^ 2 − y ^ 2 − z ^ 2> 0. raqamsiz ].
O'zgaruvchilarni boshqa tomonga o'tkazish va tengsizlikni qaytarish domenni quyidagicha beradi
[domen (f) = {(x, y, z) ∈R ^ 3∣x ^ 2 + y ^ 2 + z ^ 2 <9 }, nonumber ]
bu boshlanishining markazida joylashgan radius (3 ) to'pini tavsiflaydi. (Izoh: to'pning yuzasi ushbu domenga kiritilmagan.)
b. (G (x, y, t) = dfrac { sqrt {2t-4}} {x ^ 2-y ^ 2} ) funktsiyasi aniqlanishi uchun (va haqiqiy qiymat bo'lishi kerak), ikkita shart bajarilishi kerak tutmoq:

1. 
   Radikand salbiy bo'lishi mumkin emas.
   
2. 
   Maxsus nolga teng bo'lmaydi.
   

Radikand manfiy bo'lishi mumkin emasligi sababli, bu (2t-4−0 ) degan ma'noni anglatadi va shuning uchun (t≥2 ). Ajratuvchi nolga teng bo'lmasligi sababli (x ^ 2 − y ^ 2 ≠ 0 ), yoki (x ^ 2 ≠ y ^ 2 ), qaysi biri (y = ± x ) deb qayta yozilishi mumkin, boshidan o'tgan ikkita chiziqning tenglamalari. Shuning uchun (g ) ning sohasi
[domen (g) = {(x, y, t) | y ≠ ± x, t≥2 }. nonumber ]
( PageIndex {6} ) mashqlari
(H (x, y, t) = (3t-6) sqrt {y-4x ^ 2 + 4} ) funktsiya sohasini toping.