Ko'p o'zgaruvchilarning funktsiyalari

Ko'p o'zgaruvchilarning funktsiyalari

Bizning birinchi qadamimiz ikkita mustaqil o'zgaruvchining funktsiyalaridan boshlab bir nechta o'zgaruvchining funktsiyasi nima ekanligini tushuntirishdir. Ushbu qadam ushbu funktsiyalarning sohasini va doirasini aniqlashni va ularni qanday qilib grafikalashni o'rganishni o'z ichiga oladi. Shuningdek, biz uchta o'lchamdagi funktsiyalar grafikalarini tanish planar funktsiyalar grafikalari bilan bog'lash usullarini ko'rib chiqamiz.

Ikki o'zgaruvchining vazifalari
Ikki o'zgaruvchining funktsiyasining ta'rifi bitta o'zgaruvchining funktsiyasi ta'rifiga juda o'xshash. Asosiy farq shundaki, bitta o'zgaruvchining qiymatini boshqa o'zgaruvchining qiymatiga solishtirish o'rniga, biz o'zgaruvchiga buyurtma qilingan juftlarni boshqa o'zgaruvchiga solishtiramiz.
Ta'rif: ikkita o'zgaruvchining funktsiyasi
A ikkita o'zgaruvchining funktsiyasi (z = (x, y) ) haqiqiy tekislikning ( rm I ! R ^ 2 ) (D ) kichik to'plamidagi har bir tartiblangan juftlikni ((x, y) ) ga noyob haqiqiy raqam (z ). (D ) to'plami funktsiya sohasi deyiladi. (F ) diapazoni - bu kamida bitta tartiblangan juftlik ((x, y) -D ) ga teng bo'lgan barcha haqiqiy sonlar (z ()) (f (x, y) = z). ) Shaklda ko'rsatilganidek ( PageIndex {1} ).

Ikki o'zgaruvchidan iborat funktsiya sohasini aniqlash har qanday domen cheklovlarini hisobga olishni o'z ichiga oladi. Keling, ko'rib chiqaylik.
Misol ( PageIndex {1} ): Ikki o'zgaruvchining funktsiyalari uchun domenlar va diapazonlar
Quyidagi funktsiyalarning har birining domeni va diapazonini toping:

1. 
   (f (x, y) = 3x + 5y + 2 )
   
2. 
   (g (x, y) = sqrt {9-x ^ 2-y ^ 2} )
   

Qaror
a. Bu ikkita o'zgaruvchida chiziqli funktsiyaga misol. (F (x, y) ) ning aniqlanmaganligini keltirib chiqaradigan (x ) va (y ) qiymatlari yoki birikmalari mavjud emas, shuning uchun (f ) ning domeni ( rm I ! R ^ 2 ). Set-builder notation-da yozilgan, buni quyidagicha yozish mumkin: ( {(x, y) | x in rm I ! R, y in rm I ! R } ).
Qatorni aniqlash uchun avval uchun qiymatni tanlang z. (F (x, y) = z, ) yoki (3x-5y + 2 = z. ) Tenglamasiga echim topishimiz kerak. (Y = 0 ) ), bu (3x + 2 = z ) tenglamasini beradi. Ushbu tenglamaning echimi (x = dfrac {z-2} {3} ) dir, bu tartiblangan juftlikni beradi ( chap ( dfrac {z-2} {3}, 0 o'ng) ) (z ()) ning istalgan qiymati uchun (f (x, y) = z ) tenglamaga yechim sifatida. Shuning uchun funktsiya diapazoni barcha haqiqiy sonlar yoki ((- infty, infty) ).
b. (G (x, y) ) funktsiyasi haqiqiy qiymatga ega bo'lishi uchun kvadrat ildiz ostidagi miqdor salbiy bo'lmasligi kerak:
[9 − x ^ 2 − y ^ 2≥0. nonumber ]
Ushbu tengsizlikni shaklda yozish mumkin
[x ^ 2 + y ^ 2≤9. nonumber ]
Shuning uchun (g (x, y) ) ning domeni ( {(x, y) -R ^ 2∣x ^ 2 + y ^ 2≤9 } ) dir. Ushbu nuqtalar to'plamining grafigini kelib chiqishi markazida joylashgan radiusi 3 bo'lgan disk deb ta'riflash mumkin. Domen quyidagi grafikada ko'rsatilgandek chegara doirasini o'z ichiga oladi.

(G (x, y) = sqrt {9-x ^ 2-y ^ 2} ) oralig'ini aniqlash uchun biz domen chegarasida ((x_0, y_0) ) nuqtadan boshlaymiz, (x ^ 2 + y ^ 2 = 9 ) munosabati bilan aniqlanadi. Bundan kelib chiqadiki, (x ^ 2_0 + y ^ 2_0 = 9 ) va
[ start {align *} g (x_0, y_0) & = sqrt {9-x ^ 2_0 − y ^ 2_0} [5pt] & = sqrt {9− (x ^ 2_0 + y ^ 2_0) } [5pt] & = sqrt {9−9} [5pt] & = 0. end {align *} ]
Agar (x_0 ^ 2 + y_0 ^ 2 = 0 ) (boshqacha aytganda, (x_0 = y_0 = 0) ) bo'lsa, unda
[ start {align *} g (x_0, y_0) & = sqrt {9-x ^ 2_0 − y ^ 2_0} [5pt] & = sqrt {9− (x ^ 2_0 + y ^ 2_0) } [5pt] & = sqrt {9−0} = 3. end {align *} ]
Bu funktsiyaning maksimal qiymati. (0 ) va (3 ) orasidagi har qanday c qiymatini hisobga olsak, biz $ (g ) $ domeni ichida (g (x, y) = c: ) nuqtalar to'plamini topa olamiz.
[ begin {align *} sqrt {9 − x ^ 2 − y ^ 2} & = c [5pt] 9 − x ^ 2 − y ^ 2 & = c ^ 2 [5pt] x ^ 2 + y ^ 2 & = 9 − c ^ 2. end {align *} ]
(9 − c ^ 2> 0 ) dan boshlab, boshida markazlashtirilgan ( sqrt {9 − c ^ 2} ) radiusli aylana tasvirlangan. Ushbu doiradagi har qanday nuqta (g (x, y) = c ) tenglamani qondiradi. Shuning uchun bu funktsiya diapazonini intervalli yozuvlarda ([0,3]. ) Deb yozish mumkin.
( PageIndex {1} ) mashqlari
(F (x, y) = sqrt {36−9x ^ 2−9y ^ 2} ) funktsiya doirasini va oralig'ini toping.