Ko'p o'zgaruvchilarning funktsiyalari

Maslahat
Radikandni manfiy qilmaydigan tartiblangan juftliklar to'plamini aniqlang.
Qaror
Domen ( {(x, y) | x ^ 2 + y ^ 2≤4 } ) tengsizligi bilan aniqlangan soyali doiradir, u $ a $ ga ega. (2 ) radius doirasi uning chegarasi sifatida. Ushbu diapazon ([0,6]. )

Ikki o'zgaruvchining grafik funktsiyalari
(Z = (x, y). ) Funktsiyasini grafikada chizishni xohlaymiz deylik. Bu funktsiya ikkita mustaqil o'zgaruvchiga ( (x ) va (y )) va bitta qaram o'zgaruvchiga ((z) ) ega. Bir o'zgaruvchining (y = f (x) ) funktsiyasini grafika qilishda biz dekartlik tekisligidan foydalanamiz. Biz har qanday tartiblangan juftlikni ((x, y) ) tekislikda grafika qila olamiz va tekislikning har bir nuqtasida u bilan bog'liq tartiblangan juftlik ((x, y) ) mavjud. Ikki o'zgaruvchidan iborat funktsiya bilan funktsiya sohasidagi har bir tartiblangan juftlik ((x, y) ) haqiqiy songa (z ) tenglashtiriladi. Shuning uchun (f ) funktsiya grafigi tartiblangan uchlik ((x, y, z) ) dan iborat. (Z = (x, y) ) funktsiya grafigi ikki o'zgaruvchiga sirt deyiladi.
Uch o'lchovli kosmosda sirtni olish uchun tartiblangan uchliklar to'plamini chizish tushunchasini to'liqroq tushunish uchun ((x, y) ) koordinatalar tizimini tekis qilib tasavvur qiling. Keyin, f funktsiya sohasidagi har bir nuqta o'ziga xos (z ) - qiymatga ega. Agar (z ) musbat bo'lsa, unda chizilgan nuqta (xy ) - tekislikning ustida, agar (z ) manfiy bo'lsa, u holda chizilgan nuqta (xy ) - tekislikning ostida joylashgan bo'ladi. Barcha chizilgan nuqtalar to'plami (f ) funktsiya grafigi bo'lgan ikki o'lchovli sirtga aylanadi.
Misol ( PageIndex {2} ): Ikki o'zgaruvchining grafik funktsiyalari
Quyidagi funktsiyalarning har birining grafikasini yarating:

1. 
   (g (x, y) = sqrt {9-x ^ 2-y ^ 2} )
   
2. 
   (f (x, y) = x ^ 2 + y ^ 2 )
   

Qaror
a. ( PageIndex {2} ) misolida biz (g (x, y) = sqrt {9-x ^ 2-y ^ 2} ) ning domeni ( {(x, y) -R ^ 2∣x ^ 2 + y ^ 2≤9 } ) va oralig'i ( {z∈R ^ 2∣0≤z≤3 } ) dir. (X ^ 2 + y ^ 2 = 9 ) bo'lganda bizda (g (x, y) = 0 ) bo'ladi. Shuning uchun (xy ) - tekislikning boshida joylashgan radiusi (3 ) doirasidagi har qanday nuqta (z ^ 0 ) ga (R ^ 3 ) ga to'g'ri keladi. Agar (x ^ 2 + y ^ 2 = 8 ) bo'lsa, u holda (g (x, y) = 1, ) shuning uchun markazida joylashgan (2 sqrt {2} ) radius doirasidagi istalgan nuqta. (xy ) tekislikda (z ^ 1 ) ga (R ^ 3 ) gacha xaritalaydi. (X ^ 2 + y ^ 2 ) nolga yaqinlashganda, (z ) qiymati (3 ) ga yaqinlashadi. (X ^ 2 + y ^ 2 = 0 ) bo'lsa, u holda (g (x, y) = 3 ) bo'ladi. Bu (xy ) - tekislikning kelib chiqishi, agar (x ^ 2 + y ^ 2 ) (0 ) va (9 ) orasidagi boshqa har qanday qiymatga teng bo'lsa, u holda (g (x (x)) , y) ) $ (0 ) $ va (3 ) orasidagi boshqa doimiyga teng. Ushbu funktsiya bilan tavsiflangan sirt quyidagi grafada ko'rsatilgandek radiusi (3 ) bo'lgan kelib chiqishi markazida joylashgan yarim shar.

b. Ushbu funktsiya (x ^ 2 + y ^ 2 ) ifodasini ham o'z ichiga oladi. Ushbu ifodani noldan boshlanadigan har xil qiymatlarga teng qilib, biz ortib borayotgan radius doiralarini olamiz. (F (x, y) = x ^ 2 + y ^ 2 ) ning minimal qiymati nolga teng ( (x = y = 0. Ga teng bo'lganda erishiladi.). (X = 0 ) bo'lganda, funktsiya bo'ladi (z = y ^ 2 ), va (y = 0 ) bo'lganda, funktsiya (z = x ^ 2 ) bo'ladi. Bular grafaning kesimlari va parabolalardir. (f (x, y) = x ^ 2 + y ^ 2 ) grafigi nomi a bo'lgan bo'shliqdagi vektorlarga. paraboloid. (F ) grafigi quyidagi grafada paydo bo'ladi.

Misol ( PageIndex {3} ): Yong'oq va murvat
Uskuna ishlab chiqaruvchisi uchun foyda funktsiyasi tomonidan berilgan
[f (x, y) = 16− (x-3) ^ 2− (y-2) ^ 2, non number ]
bu erda (x ) - bir oyda sotilgan yong'oqlar soni (minglab o'lchanadi) va (y ) bir oyda sotilgan boltlar sonini (minglab o'lchanadi) ifodalaydi. Foyda minglab dollarlarda o'lchanadi. Ushbu funktsiya grafigini eskizlang.
Qaror
Ushbu funktsiya ikkita o'zgaruvchida ko'pburchak funktsiyadir. (F ) domeni manfiy bo'lmagan foyda keltiradigan ((x, y) ) koordinata juftlaridan iborat:
[ begin {align *} 16− (x-3) ^ 2− (y-2) ^ 2 & ≥ 0 [5pt] (x-3) ^ 2 + (y-2) ^ 2 & ≤ 16. end {align *} ]
Bu ((3,2) ) markazida joylashgan radiusi (4 ) bo'lgan disk. Bundan tashqari, $ (x ) $ va (y ) ham manfiy bo'lmagan bo'lishi kerak. (X = 3 ) va (y = 2, quad f (x, y) = 16. ) Bo'lganda, ikkala qiymat ham tamsayı bo'lmagan bo'lishi mumkinligiga e'tibor bering; masalan, bir oy ichida (2,5 ) ming yong'oqni sotish mumkin. Shuning uchun domen minglab fikrlarni o'z ichiga oladi, shuning uchun biz diskdagi barcha nuqtalarni ko'rib chiqishimiz mumkin. Har qanday (z <16 ) uchun (f (x, y) = 16: ) tenglamani echishimiz mumkin.
[ begin {align *} 16− (x-3) ^ 2− (y-2) ^ 2 & = z [5pt] (x-3) ^ 2 + (y-2) ^ 2 & = 16. Z. end {align *} ]
(Z <16, ) ekan, biz (16-z> 0, ) ekanligini bilamiz, shuning uchun avvalgi tenglama ((3) nuqtada markazida radiusi ( sqrt {16-z} ) bo'lgan doirani tasvirlaydi. , 2) ). Shuning uchun. (f (x, y) ) diapazoni ( {z∈ mathbb {R} | z≤16 } dir. ) (f (x, y) ) ning grafigi ham a paraboloid va bu paraboloid ko'rsatilgandek pastga qarab ishora qiladi.