Конспект лекций по дисциплине «Теория вероятностей и математическая статистика»

2. Формулы для определения вероятностей: а) попадания нормально распределенной случайной величины в заданный интервал;

б) ее отклонения от математического ожидания. Правило трех сигм

Рассмотрим свойства случайной величины, распределенной по нормальному закону:

1. 
   Вероятность попадания случайной величины X, распределенной по нормальному закону, в промежуток [x₁; x₂] равна
   

, где , .
Доказательство.
.

2. 
   Вероятность того, что отклонение случайной величины X, распределенной по нормальному закону, от математического ожидания a не превысит величину >0 (по абсолютной величине), равна
   

, где .
Доказательство.

.
Следствие. Вычислим по этой формуле вероятности при некоторых значениях :
=
=2
=3
Отсюда вытекает правило трех сигм:
Если случайная величина имеет нормальный закон распределения с параметрами a и ² , то практически достоверно, что ее значения заключены в интервале (a-3;a+3) .

3. Центральная предельная теорема. Понятие о теореме Ляпунова

Центральная предельная теорема представляет собой группу теорем, посвященных установлению условий, при которых возникает нормальный закон распределения. Важнейшее место среди них занимает теорема Ляпунова.
Теорема Ляпунова. Если Х₁, Х₂, … , Х_n – независимые случайные величины, у каждой из которых существует математическое ожидание M(X_i)=a_i, дисперсия D(X_i)=  _i², абсолютный центральный момент третьего порядка M(X_i-a_i³) = m_i и
,
то закон распределения суммы Х₁+Х₂+…+Х_n при п неограниченно приближается к нормальному с математическим ожиданием и дисперсией .
ЛЕКЦИЯ 7