Конспект лекций по дисциплине «Теория вероятностей и математическая статистика»

Определение 1. Плотностью вероятности НСВ в точке х называется предел , если такой предел существует.
Теорема 1. Плотность вероятности (x) непрерывной случайной величины Х равна производной ее функции распределения, т.е.
(x) = F (x).
Доказательство.
.
Свойства плотности вероятности (x) непрерывной случайной величины Х:

5. 
   (x) – неотрицательная функция.
   
6. 
   Вероятность попадания НСВ в промежуток [a;b] равна определенному интегралу от ее плотности вероятности в пределах от a до b , т.е. P(a  Х  b)= .
   
7. 
   Функция распределения НСВ выражается через плотность вероятности по формуле
   

.

8. 
   Несобственный интеграл с бесконечными пределами интегрирования от плотности вероятности НСВ равен единице, т.е. .
   

График плотности вероятности НСВ называется кривой распределения.
Понятия математического ожидания M(X) и дисперсии D(X), введенные для дискретной случайной величины X, можно распространить на непрерывные случайные величины.
Определение 2. Математическим ожиданием М(Х) непрерывной случайной величины Х называется несобственный интеграл (если интеграл абсолютно сходится).
Определение 3. Дисперсией D(Х) непрерывной случайной величины Х называется несобственный интеграл (если интеграл сходится).
Все свойства математического ожидания и дисперсии дискретных случайных величин справедливы и для непрерывных случайных величин.
3. Равномерный (прямоугольный) закон распределения
и его числовые характеристики.
Определение. Непрерывная случайная величина Х имеет равномерный закон распределения на отрезке [a, b], если ее плотность вероятности φ(х) постоянна на этом отрезке и равна нулю вне его, т.е.

Теорема. Функция распределения случайной величины Х, распределенной по равномерному закону, есть

Ее математическое ожидание
,
а дисперсия
.
Доказательство. При х ≤ а функция распределения F(x) = 0.
При а < x ≤ b имеем:
.
При x > b очевидно, что
Математическое ожидание случайной величины Х с учетом его механической интерпетации как центра массы равно абсциссе середины отрезка, т.е. M(X) = .
Дисперсию посчитаем по формуле:

=
Равномерный закон распределения используется при анализе ошибок округления при проведении числовых расчетов, в ряде задач массового обслуживания, при статистическом моделировании наблюдений, подчиненных заданному распределению.
ЛЕКЦИЯ 6