Конспект лекций по дисциплине «Теория вероятностей и математическая статистика»

Тема 5: Непрерывные случайные величины.

Нормальный закон распределения

ПЛАН
1. Определение нормального закона распределения.
2. Формулы для определения вероятностей: а) попадания нормально распределенной случайной величины в заданный интервал; б) ее отклонения от математического ожидания. Правило трех сигм.
3. Центральная предельная теорема. Понятие о теореме Ляпунова.

1. Нормальный закон распределения

Для непрерывных случайных величин особо важное значение имеет нормальный закон распределения. Необходимо знать теоретико-вероятностный смысл его параметров, выражение функции распределения F_N(x) через функцию Лапласа Ф(х), свойства нормально распределенной случайной величины, правило трех сигм, важно четко представлять, что нормальный закон, в отличие от других, является предельным законом, к которому при некоторых весьма часто встречающихся условиях приводит совокупное действие (сумма) п независимых случайных величин Х₁, Х₂, … , Х_n при п.
Определение 1. Непрерывная случайная величина Х имеет нормальный закон распределения (закон Гаусса) с параметрами a и ², если ее плотность вероятности имеет вид:
.
Многие величины подчиняются нормальному закону, например, рост человека, дальность полета снаряда и т.п.
Кривую нормального закона распределения называют нормальной кривой или гауссовой кривой.
Теорема 1. Математическое ожидание случайной величины Х, распределенной по нормальному закону, равно параметру а этого закона , т.е. M(X)=a , а ее дисперсия равна параметру ² , т.е. D(X)= ².
Доказательство. Математическое ожидание случайной величины Х:


.
Первый интеграл равен нулю как интеграл от нечетной функции по симметричному промежутку. Второй интеграл – это интеграл Пуассона, равный .
Дисперсия случайной величины Х:



.
При изменении параметра a гауссова кривая параллельно смещается вдоль оси Ох.
При изменении параметра ² изменяется ордината максимума гауссовой кривой.
Нормальный закон распределения случайной величины с параметрами a=0 и ²=1 называется стандартным (или нормированным), а соответствующая нормальная кривая – стандартной.

Функция распределения НСВ выражается через плотность вероятности по формуле .

Следовательно, функция распределения нормально распределенной случайной величины выражается по формуле , в которой подынтегральная функция не имеет первообразной функции, выражающейся через элементарные функции.
Поэтому ее выражают через функцию Лапласа , для которой составлены таблицы.
Теорема 1. Функция распределения случайной величины, распределенной по нормальному закону, выражается через функцию Лапласа (x) по формуле:
.
Доказательство.

,
так как .