Конспект лекций по цос

КИХ–фильтры с линейной фазовой характеристикой
Физически реализуемая последовательность {h(n)} конечной длины, заданная на интервале 0  n  N – 1, имеет z-преобразование
H(z) = h₀ + h₁/ z + h₂/ z² + h₃/ z³ + … = h(n) z^-n.
Преобразование Фурье от {h(n)}
H(e^j) = h(n) e^–jn (8.14)

• 
  периодическая функция по частоте с периодом 2, т.е.
  

H(e^j) = H(e^{j ( + 2m)}) , m = 0, 1, 2, … .
Для действительных последовательностей получим дополнительные ограничения на функцию H(e^j), представив ее в виде
H(e^j) = H(e^j)e^{j ()} = H^*(e^j)e^{j ()}, (8.15)
где H^*(e^j) – действительная функция, принимающая положительные и отрицательные значения. МодульH(e^j)– симметричная функция H(e^j)=H(e^–j), а фаза  () – антисимметричная функция частоты  () = – (–).
Требование линейности фазовой характеристики означает
 () = –(), –    , (8.16)
где  – постоянная фазовая задержка, выраженная через число интервалов дискретизации n.
При выполнении условий (8.15) и (8.16) преобразование Фурье (8.14) имеет вид
H(e^j) = h(n) e^–jn = H(e^j)e^–j. (8.17)
Приравнивая действительные и мнимые части этого уравнения, получим условие линейности фазовой характеристики при   0
h(n) sin [( – n)] = 0. (8.18)
Существование решения уравнения (8.18) удовлетворяет условиям:
 = (N – 1) / 2; (8.19)
h(n) = h(N – 1 – n), 0    N – 1. (8.20)
Условие (8.19) означает, что для каждого N существует только одно значение , при котором фазовая характеристика фильтра может быть линейной. Условие (8.20) означает, что при заданной задержке , импульсная характеристика должна обладать определенной симметрией.
Из условия (8.19) следует, что при нечетном значении N задержка  равна целому числу интервалов дискретизации.
Согласно условию линейности фазовой характеристики (8.16) требуется, чтобы фильтр имел постоянные и групповую, и фазовую задержку. Групповая задержка равна производной от фазовой характеристики по частоте, а фазовая задержка – отношение фазы к частоте. Если достаточно, чтобы постоянной была только групповая задержка, то можно определить еще один тип фильтра, фазовая характеристика которого аппроксимируется кусочно–линейной функцией
H(e^j) = = H(e^j)e^{j(–)}. (8.21)
Аналогично тому, как условие (8.17) приводится к виду (8.18), условие (8.21) можно привести к виду:  = (N – 1) / 2;  =    ;
h(n) = –h(N – 1 – n), 0  n  N – 1. (8.22)
Фильтры, удовлетворяющие условиям (8.22) задерживают сигнал на  = (N – 1) / 2 интервалов дискретизации, но в отличие от предыдущего случая их импульсные характеристики антисимметричны относительно центра.
В зависимости от четности значения и вида симметрии импульсной характеристики возможны четыре различных вида КИХ-фильтров с линейными фазовыми характеристиками.
Частотная характеристика КИХ-фильтра с линейной ФЧХ
H(e^j) = H^*(e^j)e^{j(–)}, (8.23)
где H^*(e^j) – действительные функции; коэффициенты  и  определяются формулами (8.22).
В зависимости от значений N,  и  КИХ-фильтры с линейной фазовой характеристикой (ФЧХ) делятся на 4 вида:
Фильтры вида 1 – симметричная импульсная характеристика, нечетное N.
Фильтры вида 2 – симметричная импульсная характеристика, четное N.
Фильтры вида 3 – антисимметричная импульсная характеристика, нечетное N.
Фильтры вида 4 – антисимметричная импульсная характеристика, четное N.