Ф о р м у л а к а р д а н о формула для нахождения корней канонической формы кубического уравнения

---

Формула Кардано
Ф о р м у л а К а р д а н о — формула для нахождения корней канонической формы кубического уравнения 
у
3
 +РУ + Я -
О
над полем комплексных чисел. Названа в честь итальянского математика Джероламо Кардано.
Любое кубическое уравнение общего вида
а х
3 +
Ьх2
+
с х
+
d
= О
при помощи замены переменной
ь
X — V
---------
У
З а
может быть приведено к указанной выше юнонической форме с коэффициентами
_
с 
Ъ2
_ 3
ас — Ь2
Р ~ а ~
З а 2 “
З а 2 
’
_ _ 2 & _ _ Ъ < ^
d _ 2b3 — 9abc
+
27а? d
9 ~
2 7 а 3 
З а 2 + а “
2 7 а 3

---

Формула
Определим величину:
Если все коэффициенты кубического уравнения вещественны, то и Q вещественно, и по его знаку можно определить тип 
корней:
■ Q > 0 — один вещественный корень и два сопряжённых комплексных корня.
■ Q = 0 — один однократный вещественный корень и один двукратный, или, если р = q = О, Т) один 
трёхкратный вещественный корень.
■ Q < 0 — три вещественных корня. Это так называемый «неприводимый» случай, и именно при анализ этой 
ситуации впервые исторически возникло понятие комплексного числа, потому что вещественный результат 
получается по формуле с помощью юмплексных чисел.
По формуле Кардано, корни кубического уравнения в юнонической форме равны:
yi = а + РУ
где
Дискриминант многочлена 
у3 
+ ру
4* 
Я.
ПРИ этом равен 
Д = —108Q.
Применяя данные формулы, для каждого из трёх значений 
а.
необходимо брать такое Д для которого выполняется условие 
а /? =
—р
/ 3 (такое значение 
0
всегда существует).

---

Вывод
Представим уравнение в виде
П(у_^) = 
0
w
»=1
где 
y i
- корни уравнения.Тогда
Пы = -«• (
2
)
»=1
Примем:
-
q
= а 3 + 03 
(3)
Тогда, решая уравнение (3) потучим
- q =
(а + /3)(а2 
+ 0 1
-а /3 ) 
(4)
Одним из корней будет 
у
= а +
0 .
Подставив его в исходное уравнение, получим: 
а 3 + 03 +
(За/? + р)(а + /3) +
q =
О 
Подставляя q из (3), приходим к системе:
Г (3
аР + р){а + Р)
= О 
\
а 3 +
03 = - q
Зная, что в общем случае сумма 
а
+ /? не равна нулю получаем систему
((3а/3 + р) = 0
1 
а 3 + 03 = - q
которая равносильна системе
Г о»
0
» = - £ = т  
\
а
3
+ Z
?3
= — 
q = —п
Последняя представляет из себя формулы Виета для двух корней а 3 и 
0 ^
квадратного уравнения: 
2? + n z + m =  О
Оставшиеся два корня находятся разложением на множители многочлена
с? + 0* — а/3