Конспект лекций по цос

Второй метод проектирования – метод частотной выборки
Основная идея метода – искомая частотная характеристика аппроксимируется отсчетами, взятыми в равноотстоящих точках; путем интерполяции получается результирующая частотная характеристика, которая проходит через исходные отсчеты.
КИХ–фильтр может быть однозначно определен как импульсной характеристикой {h(n)}, так и последовательностью {H(k)}. Последовательности {h(n)}  {H(k)} связаны между собой парой дискретных преобразований Фурье
H(k) = h(n) e^{–j(2/N )nk}, ДПФ (8.27)
h(n) = (1/N) H(k) e^{j(2/N )nk}, ОДПФ. (8.28)
Коэффициенты ДПФ импульсной характеристики КИХ–фильтра, равные H(k), можно рассматривать как значения z– преобразования импульсной характеристики фильтра в N равноотстоящих точках на единичной окружности H(k) = H(z)_{z=exp[(j2/N)k]}.

Таким образом, z-преобразование импульсной характеристики КИХ-фильтра можно выразить через коэффициенты ДПФ его импульсной характеристики, если подставить (8.28) в выражение для z-преобразования

H(z) = h(n) z^–n =
= [(1/N) H(k) e^{j(2/N )nk}] z^–n.
Меняя порядок суммирования и учитывая, что e^j2k = 1, получим
H(z) = [(1 – z^–N) / N] ^N–1_n=0 H(k) / (1 – z^–1 e^{j(2/N )k}). (8.29)
Из этого соотношения следует, что для аппроксимации непрерывной частотной характеристики надо произвести ее дискретизацию по частоте в равноотстоящих точках на единичной окружности (взять частотную выборку); восстановить непрерывную частотную характеристику можно, интерполируя отсчеты частотной характеристики. Ошибка аппроксимации в промежутках между отсчетами имеет конечную величину.
Для восстановления непрерывной частотной характеристики H(e^j) по отсчетам H(k) используются интерполирующие функции вида S(, k) = exp[–j(k/N)] sin(N/2)/sin( /2 – k/N) =
=  exp[–j(k/N)] sin [N ( /2 – k/N)]/sin( /2 – k/N).
Частотная характеристика фильтра представляется как линейная комбинация интерполирующих функций S(, k)
H(e^j)= ({exp[–j (N – 1)/2)]}/N) ^N–1_n=0 H(k) S(, k).
Вклад каждого отсчета частотного отсчета в синтезируемую частотную характеристику пропорционален его значению H(k), умноженному на интерполирующую функцию sin(N /2)/sin( /2), смещаемую по частоте на k/N. Интерполирующие функции S(, k), связанные с частотными отсчетами из переходной полосы, обеспечивают хорошее подавление пульсаций в примыкающих частотных полосах. Оптимизируя значения незаданных частотных отсчетов, которые лежат в переходных полосах, можно синтезировать фильтры с хорошими частотными характеристиками.