Конспект лекций по цос

Третий метод проектирования – оптимизация фильтров с минимаксной ошибкой
Задачу проектирования оптимального КИХ–фильтра с линейной фазовой характеристикой можно сформулировать через условия минимизации максимальных ошибок аппроксимации по Чебышеву.
Частотная характеристика фильтра с линейной фазой имеет вид
H(e^j) = H^*(e^j). (8.30)
В зависимости от значения L и формы представления функции фильтры подобного класса делятся на 4 вида.
Фильтры вида 1: L = 0; H^*(e^j) = a(n)cos( n).
Фильтры вида 2: L = 0; H^*(e^j) = b(n)cos[ (n – 0,5)].
Фильтры вида 3: значение L = 1 и выражение для функции из (8.30)
H^*(e^j) = c(n)sin( n).
Фильтры вида 4: значение L = 1 и выражение для характеристики
H^*(e^j) = d(n)sin[ (n – 0,5)].
Выражение для H^*(e^j) можно записать в виде произведения функции частоты Q(e^j) и члена P(e^j), состоящего из суммы косинусов.
Для фильтров вида 3
Q(e^j) = sin() и P(e^j) = c^~(n)cos( n), (8.31)
т.е. справедливо равенство
c(n)sin( n) = sin() c^~(n)cos( n).
Для фильтров вида 4
Q(e^j) = sin(/2) и P(e^j) = d^~(n)cos( n),
т.е. d(n)sin [(n – ½)] = sin( ) d^~(n)cos( n).
Задачу расчета оптимального КИХ–фильтра с линейной фазой можно сформулировать в виде задачи чебышевской аппроксимации. Для возможности выбора величины ошибки для различных частотных полос введем заданную (действительную) частотную характеристику фильтра D(e^j) и весовую функцию ошибки аппроксимации W(e^j).
Взвешенная ошибка аппроксимации по определению равна
E(e^j) = W(e^j)[D(e^j) – H^*(e^j)].
Записав H^*(e^j) в виде произведения P(e^j) и Q(e^j), представим E(e^j) в виде E(e^j) = W(e^j)[D(e^j) – P(e^j)Q(e^j)].
Функция однозначно зависит от частоты, поэтому ее можно вынести за скобки E(e^j) = W(e^j)Q(e^j) [D(e^j)/Q(e^j) – P(e^j)].
Обозначим (e^j) = W(e^j)Q(e^j) и
(e^j) = D(e^j)/Q(e^j).
В этих обозначениях функция ошибки имеет вид
E(e^j) = (e^j) [ (e^j) – P(e^j)].
Теперь задачу чебышевской аппроксимации можно сформулировать как задачу нахождения коэффициентов (n), которые минимизируют максимум модуля ошибки E(e^j) в заданных частотных полосах.
Обозначим минимальную ошибку символом E(e^j). Задачу чебышевской аппроксимации можно сформулировать выражением
E(e^j) = min[max_A E(e^j)], (8.32)
где А – совокупность всех интересующих разработчика частотных полос; минимизация производится по всем возможным значениям коэффициентов (n) или (n).
Для решения (8.32) используется обобщенная теорема Чебышева: Если P(e^j) представляет собой линейную комбинацию из r косинусных функций P(e^j) = (n)cos(n), то необходимое и достаточное условие того, что P(e^j) является единственной и наилучшей аппроксимацией с взвешиванием непрерывной функции (e^j) в компактной области (0, ), состоит в том, что взвешенная функция ошибки E(e^j) имеет по крайней мере (r + 1) экстремальных частот в подобласти A, т.е. в этой подобласти должно существовать (r + 1) точек _i, таких, что ₁ < ₂ < ₃ < … < _r <  _r+1 и E(e^ji) = – E(e^ji+1), i = 1, 2, …, r,
и E(e^ji) = max_A [E(e^j)].
Обобщенная теорема Чебышева дает необходимые и достаточные условия для получения оптимального решения.
Количество экстремумов функции ошибки оптимального КИХ-фильтра с линейной ФЧХ ecstr  (r + 1) – (8.31). Для фильтров вида (8.31) максимальное число экстремумов функции H^*(e^j) на интервале удовлетворяет условию N_e  (N – 1)/2.
Максимальное число экстремумов функции ошибки E(e^j) определяет конкретный способ расчета оптимального фильтра.
Число частот, на которых функция H^*(e^j) может иметь экстремумы, строго зависит от вида импульсной характеристики проектируемого фильтра с линейной фазой. Значение H^*(e^j) в каждом экстремуме определяется весовой функцией W(e^j), заданной частотной характеристикой D(e^j) и величиной  – максимумом ошибки аппроксимации. Для получения оптимального фильтра необходимо распределить частоты экстремумов по частотным диапазонам при условии максимального числа экстремальных частот результирующей характеристики фильтра. Такие преобразователи называют фильтрами с максимумом пульсаций. Фильтры нижних частот этого типа имеют на одну пульсацию больше минимального числа пульсаций, обеспечивающего оптимальность.
Для вычисления коэффициентов системной функции H^*(e^j) оптимального по Чебышеву КИХ-фильтра составляется система нелинейных уравнений
H^*(e ^{j i}) =  /W(e ^{j i}) + D(e ^{j i});
d[H^*(e ^{j i})]/d = 0 при  =  _i , i = 1, 2, …, N_e.
Эту систему из 2N_e уравнений можно решить методом последовательных приближений, используя процедуру нелинейной оптимизации (например алгоритм Флетчера – Пауэлла).
Пример. Оптимальный преобразователь Гильберта описывается выражением D(e^j) = – j, 2 F_L    2 F_H;
D(e^j) = j, 2(1 – F_L)    2(1– F_H);
где F_L – нижняя, а F_H – верхняя частоты среза полосы, в которой фильтр аппроксимирует идеальную частотную характеристику преобразователя Гильберта.
Для минимизации максимума ошибки характеристики преобразователя Гильберта используется весовая функция W(e^j) = 1.
Для фильтра вида 3 величина F_H должна быть меньше 0,5 и величина F_L – больше 0; целесообразно выбирать F_L = 0,5 – F_H, в этом случае характеристика будет симметричной относительно частоты  = /2, т.е. f = 0,25.

Лекцмя 8