Kompleks sonlar nazariyasi

§. Kompleks o’zgaruvchining ko’rsatkichli va logarifmik funksiyalari

z kompleks o’zgaruvchining ko’rsatkili funksiyasi quyidagi Eyler

formulasi yordamida aniqlanadi:

_eabi

 e^a cosb  isinb.

Bu formulaga a = 0 ni qo’yib,

cosb  isinb  e^bi

ni hosil qilamiz.

b ni –b ga almashtirib,

cosb  isinb  e ^bi

ni hosil qilamiz.

Bu tenglamalarni hadlab qo’shib va ayirib, quyidagi formulalarni hosil qilamiz:

cosb 

_ebi _{ e}bi

,

2

sinb 

_ebi _{ e} bi

,

2i

bular Eyler formulalari deb ataladi. Ular trigonometrik va mavhum ko’rsatkichli funksiyalar o’rtasidagi bog’lanishni ifodalaydi.

Kompleks sonning

  rcos  isin 

trigonometrik shaklini

_rei

ko’rinishda yozish mumkin. Kompleks sonning bunday ko’rinishdagi yozuvi uning ko’rsatkichli shakli deyiladi. Kompleks sonning ko’rsatkichli shaklini quyidagicha yozish mumkin:

_{  re}i _{ e}Anr_ei _{ e}Anr^i

bu esa kompleks sonning natural logarifmini An  Anr  i formula yordamida

aniqlash tabiiy bo’lishini ko’rsatadi, ya’ni kompleks son logarifmining haqiqiy qismi esa uning argumentidan iborat. Bunday kiritilgan logarifmik funksiya noldan farqli barcha kompleks sonlar to’plamida aniqlangan. Shuni ta’kidlash kerakki, kompleks sonning argumenti ko’p qiymatli bo’lganligi sababli logarifmik funksiya ham ko’p qiymatlidir. Xususiy holda, logarifmning – ko’paytmaning logarifmi logarifmlar ko’paytmasiga teng – degan xossasi faqat ko’pqiymatlilikni hisobga olgan holda to’g’ri.

1-m i s o l.

ln 1

ning qiymatlaridan biri 0 ga teng, ln (-1) ning

qiymatlaridan biri esa i dan iborat, chunki

 1  cos  isin  e^i . Lekin

ln  1 1 i  i  2i . Bu ln 1 ning 0 dan farqli qiymatlaridan biridir (chunki 1  cos2  isin2 ). ■

 – noldan farqli kompleks son bo’lsin. U holda

ln

ning istalgan

qiymati uchun

_{  e}ln

bo’ladi. Shuning uchun ta’rif bo’yicha

_  _{ e} ln

deb

hisoblash tabiiydir. Bu ham ln ning ko’pqiymatliligi sababli  va  ning ko’p

qiymatli funksiyasi bo’ladi va u 2i qo’shiluvchi aniqligida aniqlangan.

2-m i s o l. iⁱ nimaga teng?

 ^ 

^{ }  2 ^

2

Yechish.

ln i  i<sub>

</sub> 2

 2 _



bo’lganligi uchun



iⁱ  e ^



^ . Shunday

qilib, biz qandaydir ma’noda paradoksal natijaga keldik, ya’ni «juda mavhum»

bo’lgan iⁱ ifodaning barcha qiymatlari haqiqiydir. ■

M A S H Q L A R
_ a  bi _n

89*. Limitni toping:

_lim1  _ .




n


n

90*. Eyler formulasiga ko’ra kompleks sonlarni ko’paytirishdagi argumentlarning qo’shilishi qoidasi nimaga o’tadi? Muavr formulasi uchun ham shunday savolga javob bering.

91. 
    Hisoblang:
    

^{1  i} ^i

a) ln e; b)

ln 2; c) lni ; d) ln 1  i; e) e^i ; f) 2ⁱ ; q) _{ } .

 

91. 
    Limitni toping: lnx  i , - 1  x  1.
    

93*. arctgx ni logarifmik funksiya orqali ifodalang.

JAVOBLAR. KO’RSATMALAR. YECHILISHLAR.

1-§.
1. a) 3  7i ;  22  7i ; b)  8 10i; 21  24i ; c) 10; 28.

2. a) 4  2i; 1  2i ; b) 1  2    3i; 2 ;

3. 
   2
   

bi,

a ²  b _

a ²  b

2a _{i .}

a ²  b

3. a) 7  17i ; b) 10  11i ; c) 14  5i ; d) 5  i ;

e) ¹³ 

2

¹ i ; f)

2

11 _

5

²⁷ i ; d) 4; h) 52 i; i) 2; j) 1.

5

4. a) –2; b) 0.



11

5. a) 0; b) .

17
2  iz₂  i

7. a) z₁  2, z₂  1  i ; b) ; c) z₁  ₂ .

8. a) 1; b) n = 4 bo’lganda 0, n = 4 + 1 bo’lganda i; n = 4 + 2 bo’lganda i-1; n = 4

+ 3 bo’lganda -1; c) –i.


   
9. a) a² + b² + c² - (ab + bc + ac); b) a³ + b³;

c) 2 a³  b³  c³  3 a ²b  a ²c  b²a  b²c  c ²a  c ²b  12abc.

1

10. a) 1  i ; b) 0,1 , 

2

i ; c) i ;

2

3. 
   z₁ 
   

¹⁵  ¹ i , z

2 2 ²

_  15

2

 ¹ i ;

2

e) x  yi |  7  x  1,

y  

; f) .

11. a)  1  i; b)  2  2i; c)  2  i; d)  1  4i; e)  5  6i;

  _{ }


f)  1  3i; g)  ^

 i ^ ; h)  ^

 i ^ ;


 

 

_ ^1  3

1  3 ^

2 1  i

i) i ^ 

_ 2

i ^,   0,1,2,3 ; j) .

2 _ 2

12. a) x₁ = 3-i; x₂ = -1+2i ; b) x₁ = 2+i, x₂ = 1-3i;

c) x = 1-i; x  ^4-2i ; d) x = 2-i, x = -2+i, x = 2+i, x

= -2-i;

5
1 ₂ 1 2 3 4

3. 
   x₁  x₂  i
   

, x₃

 x₄

 i

; f) x₁ = 3+2i, x₂ = 1+i;

g) x   ⁵ 

1 ₂

11 _{i ,}

2

x   ⁵ 

2 ₂

11

i ; h) x₁ = -i, x₂ = -1+i

2

2-§.
14. z₄ = z₁ + z₃ - 2z₂.

15. t 7  i, t – ixtiyoriy musbat son.

3

16. a) 2 

i ; b) 0, 3i, -3i; c) bi, b  R .

2

17.

⁷  ⁵ i .

6 6

3 17 3

18.  

2

1

i ; 

4

1

 2i .

2

1

19. a) 

 i ; b) -1,  i ;

2 2 2

c) 4  i

, 3  2i

, 1  2i

3 , i

3, 1, 3 .

20. 
    a) radiusi 1 ga teng va markazi koordinatalar boshiga joylashgan aylana;
    

b) koordinatalar boshidan chiquvchi va musbat haqiqiy yarim o’q bilan burchak hosil qiluvchi nur;

s) radiusi 2 ga teng va markazi koordinatalr boshida bo’lgan yopiq doira;

^ ga teng

3

d) radiusi 1 ga teng bo’lib, markazi 1 + i nuqtaga joylashgan doiraning ichki qismi; ye) radiusi 5 ga teng bo’lib, markazi –3 - 4i nuqtaga joylashgan yopiq doira;

6. 
   radiuslari 3 va 5 ga teng bo’lib, markazlari koordinatalar boshiga joylashgan aylanalar bilan chegaralangan halqaning ichki qismi;
   
7. 
   radiuslari 1 va 2 ga teng, markazi 2i nuqtaga joylashgan aylanalar bilan chegaralangan halqa bo’lib, unga 1 radiusli aylana kiradi, 2 radiusli aylana kirmaydi;
   

6. 
   koordinatalar boshidan o’tuvchi va musbat haqiqiy yarim o’q bilan burchaklar hosil qiluvchi nurlar hosil qilgan burchakning ichki qismi;
   

• 
  ^ va ^
  

6 6

6. 
   x  1 to’g’ri chiziqlar orasiga joylashgan polosa, bu to’g’ri chiziqlar ham kiradi;
   
7. 
   u = 1 to’g’ri chiziqlar;
   
8. 
   y  1 ikki to’g’ri chiziq;
   

6. 
   x  y  1 to’g’ri chiziqlar orasiga joylashgan polosaichki qismi;
   

m) 1 ellips;
4x ²

_ 4 y ² _

9 5


n) 1

giperbola;
4x ² _ 4 y ² _

9 7

15. 
    u² = 8x parabola;
    
16. 
    mavhum o’qdan chapda yotuvchi ochiq yarimtekislik.
    

20. 
    i .
    

20. 
    22.
    

12 _

5

16 _{i .}

5

20. 
    a) A, B kesmada, bu yerda A(-1,2), V(2,-1);
    

b) nuqtalar

y  x ²  10 parabolaga joylashgan, bunda

y  4 .

20. 
    24.
    

z  z ,


argz  arg z .

25. s = 7+i, C(7,1).

26. 
    a) argz₁ = argz_2; b) argz₁ = -argz₂,
    

z₁ 
z₂ .

26. 
    Ko’rsatma. t ni z orqali ifodalang va t  t bo’lishini isbotlang.
    
27. 
    
    _ 
    a) 7cos0  isin0; b) cos  isin ^{ } ; c) 3cos  isin ;
    

 

2

2
 

d) 5^ cos ^3  isin ^{3 } ; e) 2^ cos ^



 isin ^{ } ; f) 2^ cos ^2  isin ^{2 };

  


2

2
   ³

  

3

3

3
  

^ ^  ^^ ^^
		3 	^^3^		6		6 

g) 2 cos_

_  isin_ 

_ ; h) 2_ cos

• 
  isin _ ;
  

i) 2^ cos ⁵   isin ⁵  ^ ; j) ^{ } ⁵  ^  isin^ ⁵  ^ ;

  ^{2 cos}   ^

_ 6 6 _

 ^{ 6 }

^{ 6 }

^ ^  ^^^2 ^								 
		6 	^^6^	3		6		6 

k) 2 cos_

_  isin_ 

_ ; l)

_ cos

•