Kompleks sonlar nazariyasi

isin _ ;

m) 2 2 

3 ^ cos ^

• 
  isin ^{ } yoki
  

• 
  2 ^ cos ^
  



• 
  isin ^{ } ;
  

^ 12

12 ^

^ 12

12 ^








modul uchun ikkinchi ifodani hosil qilish uchun
  formulani qo’llash lozim;

n) 2 2  3 ^ cos^ ⁵  ^  isin^  ⁵  ^ ; o) cos    isin  ;



12
^  

 ^{ 12 }

 <sup>

</sup>


^   ^ 

p) cos    isin   ; q) cos2  isin2 ;

   

2

2
   

r) 0     ,

2cos ^{ } cos ^  isin ^{ } ;

 


2

2

2
 

    2 ,

- 2cos ^{ } cos ^{  2}  isin ^{  2 } ;

 


2

2

2
 

s) 0     ,

2cos ^{ } cos ^{3  }  isin ^{3   } ;

 


2

2

2
 

    2 ,

• 
  2cos ^{ } cos ^{  }
  

• 
  isin ^{   }
  




2
_ 2

29. a) 1  cos0  isin0 ; b)  ¹ 

2
i  cos

2



2 _

⁴   isin 3

⁴  ;

3

c) ¹ 

2

¹ cos0  sin0; d) ¹ 

2 2

i  cos

2

⁵   isin 3

⁵  ;

3

e)  i  cos

³   isin 2

³  .

2

30. a) ^{5 }cos230⁰  isin230^{0 } ; b) sin ^{ } cos ²⁹   isin ²⁹  ^ .

5


3 ^ 20



20 _

31. Ayniyat geometriyadagi quyidagi teormeani ifodalaydi: parallelogram dioganallari

kvadratlarining yig’indisi tomonlari kvadratlarining yig’indisiga teng.

32. a) 2⁹ 1  i

3; b) 2 

3-§.

312 ; c)  64;

4. 
   2, agar n – juft bo’lsa, 2, agar n – toq bo’lsa;
   

1 1 ₅ 3

4. 
   cos4  isin4; f) cos2  isin2; g)  32icos .
   

cos ⁴1

36. a) cos

4k  1

12

• 
  isin
  

cos ⁴ 2

4k  1

12

5

0  k  5;

b) (cos

6k 1

30

• 
  isin
  

6k  1 ₎



30

0  k  9;


s) ^ cos

8k  1

• 
  isin
  

^{8k  1 }0  k  7.

_ 32

 ₁

32 _


1  i
1  i 3 ^

37. a) _1,  i

_; b)  1,  i; c) _ 1, 

; _ ;

_ 2 2 _{ } 2 2 _

d) ^{ 3}  ¹ i, - ³  ¹ i, - i^; e) 1  i; - 1  i; f) 2⁶ 1 ;


2

2

2

2
 

 

g)  2,  2i,  21  i, 

21  i;



h) _ i



3,  ³ 

2

 i,  ³ 

2

3  i^;




i)  3  i,  1  i

3, - 3  i, 1  i

3;

j) 3  i 3,

 3i, - 3  i

3,  3i;

₂
k) ^{1 6} 2 2



3  i 2 3 ,

^{1 3} 4i 1, ^{1 6} 2 2 





2 6
3  i 2 

3 ^;




_1

12. 
    
    2
    _
    



2 2 
3  i 2 

3 , - ¹

2

2 2 
3  i 2 

3 ,1  i^ ;




12. 
    
    

 i,2i; n)

^3 


₂


 i,  3i^ ;




^{  3}

3 ^{ } 3

^{3 } ^{ }

3 ^{ } 3

^_

o) _ ^ ₂  i

_{, } 

2 2

 i ₂ ^_ ; p) _ ^1  i

_{, } 

3 3

 i ^_.

^ ^

38.

^{  }

<sup> 

  </sup>

1. 
   ⁵
   

2^ cos ^

 isin ^{ }; ⁵ 2^ cos ^7

^

 isin ^{7 }; ⁵ 2^ cos ^13

^

 isin ^{13 };

^ 15

15 ^{ } 15

15 ^{ } 15



15 _










⁵ 2^ cos ^19  isin ^{19 }; ⁵ 2^ cos ^5  isin ^{5 }

^ ^


5

5
   

   ^{3 3} 

b)

39. 

• 
  i,
  

³ i ;

2

2i, -

 i, -

 i, - 2i,

• 
  i .
  

40. 2cos144⁰  isin144, 2cos216⁰  isin216⁰ ,

⁵ 31cos108⁰  isin108⁰ , - ⁵ 31cos252⁰  isin252⁰ .

41.

а) cos⁶ x  6cos⁵ xsinx  15cos⁴ xsin² x  20cos³xsin³ x 

• 
  15cos² xsin⁴ x  6cosxsin⁵ x  sin⁶ x;
  

c) sin8x  8cos ⁷ xsinx  56cos ⁵ xsin³ x  56cos³ xsin⁵ x  8cosxsin⁷ x ;

b) cos8x  cos⁸ x  28cos ⁶ xsin ² x  70cos ⁴ xsin⁴ x  28cos ² xsin⁶ x  sin⁸ x .

7tgx  35tg ³ x  21tg ⁵ x  tg ⁷ x

42. ctg7x  .

1  21tg ² x  35tg ⁴ x  7tg ⁶ x

^m _1^ _C 2 1_tg 2 1 _x

 _n

43.

tg nx  ^{ 0} , bu yerda

m,A  shunday butun sonlarki,

n
A



 0

1^ C ^2 tg ^2 x

n 1 _{1  m } n 1_,

ⁿ 1  A  ⁿ .

2 2 2 2

44. 
    n  2A  1 toq bo’lganda
    

n1 _{ 1 }^{n1 A} _k

sinⁿ x  1 2 _{  }1

C^k sinn  2k x .

 ² 

n

k 0

n  2A

juft son bo’lganda

n _{ 1 }^n1 _ ^A1 <sub>k


A</sub> ¹ 

sinⁿ x  12 <sub> 

</sub>1

C^k cosn  2k x   1

C ^A _ .

 ² 

k 0

n
_{ 1 }n1 <sub>A

2</sub> n _

n  2A  1 ^{toq son bo’lganda cosn x } <sub> 

</sub> C^k cosn  2k x .

 ² 

_{ 1 }n1 _


n

k 0

A _k

^{1 A} 

n  2A

juft son bo’lganda

cos

x  _{ }

2

_C_n cosn  2k x  ₂ C_{n } .

^{ } k 0 

Ko’rsatma.

z  cosx  isinx, z  cosx  isinx larni qaraladi. Bu yerdan

cosx  ^{z  z} , sinx  ^{z  z} , cosⁿ x  ¹ z  z ⁿ 



n
^{2 2i} 2ⁿ

_ 1

n

_Ck _znk _z k _,


sinⁿ x  ¹ z  z  ¹

 1^k C^k z^nk z ^k

 _n


n
² k 0

2iⁿ

2iⁿ

 _n

k 0

kelib chiqadi. Keyin bir xil binomial umumiy ko’patuvchini qavsdan tashqariga chiqarish va Muavr formulasidan foydalanish lozim.

44. 
    a)
    

3sinx  sin3x

4

; b)

cos4x  4cos2x  3

;

8

cos5x  5cos3x  10cosx

c)

16
; d)

cos6x  6cos4x  15cos2x  10

;

32

5. 
   
   1
   sin8x  2sin6x  2sin4x  6sin2x; 128
   

5. 
   ¹ 64
   

cos7x  sin7x 7cos5x  sin5x 21cos3x  sin3x 35cosx  sinx.

44. 
    
    2n
    C^
    

2n 2n

4-§.
ekanligini hisobga olinsa, a) va b) tengliklar 1-misolga keltiriladi.

44. 
    
     C
    a) va b) tenglamalarni 2-misoldagidek hosil qilish mumkin, bunda:
    

2ⁿ   1   ⁿ   ² 1   ² n , 2ⁿ   ² 1   ⁿ   1   ² n .

44. 
    4-misolga qarang.
    
45. 
    5-misoldagi (*) ayniyatdan x  k bo’lganda kelib chiqadi.
    

iborat:

44. 
    Yechish. Chap tomondagi ifoda quyidagi ko’phaddagi xⁿ oldidagi koeffisiyentan
    

xⁿ 1  xⁿ  x^n11  xⁿ  x^n2 1  xⁿ  …   1^k x^nk 1  xⁿ 

 1  xⁿ xⁿ  x^n1  …   1^k x^nk  1  x^n1 x^n1  1^k x^nk .

n1
Oxirgi ifodada xⁿ oldidagi koeffisiyent  1^k C^k ga tengligi ravshan.

44. 
    7-misoldan kelib chiqadi.
    
45. 
    a) Yechish. 1  x^m 1  x^m
    

 1  x ² m ko’paytmani qaraymiz. natijada,

_1^s C ^s x^s

m

C^t x 

m


 ^{k k 2k} 1 C x
, shuning uchun

s 0

13. 
    ^ m
    

t 0

 _m

k 0

_1^s C^s C^t  1^k C^k

m m m

s t 2k

Avvalo faraz qilaylik, m – juft, ya’ni m  2n , k  n

bo’lsin. U holda

m  1^s C^s

_C 2nt

  1ⁿ Cⁿ

2n 1^s C ^s

2  1ⁿ Cⁿ