Kompleks sonlar nazariyasi



s t 2n

qilamiz;
2n 2n

_2n . Bu yerdan

^ 2n

s 0

_2n ni hosil

2. 
   agar m – toq bo’lsa, m  2n  1 deb olamiz.
   

1  x^m 1  x^m  1  x ² m tenglikning chap tomonidagi
x ^2n1 oldidagi koeffisiyent

_1^s C^s C^t

2n1 1^S C ^s

2 ga teng. Lekin qaralayotgan tenglikning o’ng

s t 2n1
2n1
2n1



s0

2n1

tomonidan ko’rinadiki, bu koeffisiyent nolga teng bo’lishi kerak (chunki yoyilmasida x ning

toq darajali hadlari qatnashmaydi). Shuning uchun

2n1  1^s C ^s

2  0

bo’ldi.

44. 
    a) 9-misolda ni
    

^  

2



s 0

ga almashtiring;

2n1

va tenglik isbot

b) va s) lar ham 9-misol va a) ga o’xshash keltirib chiqariladi.

44. 
    10-misolga o’xshash.
    

44. 
    a) 2ⁿ
    

cos<sup>n

x</sup> cos 2

n  2x 2

; b) 2ⁿ

cos<sup>n

x</sup> sin 2

n  2x

.

2

44. 
    56.
    

ⁿ  ^sin4nx . Ko’rsatma: sin ²

2 4sin2x

 ^{1  cos2} formuladan foydalaning.

2

58. a)

n  1cosnx  ncosn  1x  1

;

4sin ^{2 x}

2

n  1sinnx  nsinn  1x
2 n1

b)

4sin ^{2 x}

2

. Ko’rsatma.

1  2  3

• 
  …  na
  

ko’rinishdagi yig’indini hisoblash uchun uni 1  

ga ko’paytirish foydali.

5-§.

59. a)  1; b) 1, ¹  i

2

1

; c)  1,  i ; d)  1,  i, 

2

i

1  i;

2

e)  1,  i,   i ,   ;

2 2 2 2

g) 1,  i,  ¹  i

³ , 

³ 1  i; 

³  ⁱ ; 

6  2 _{ i}

6  2 _{; }

6  2 _{ i}

6  2

2 2 2

1

2 2 4 4 4 4

i

60. a) -1; b)   i

2

; c)  i ; d) 

2

1  i; e)   ;

2 2 2

6. 
    ^
   

4

 i ^ ;  ^

4 4

 i ^ .

4

61. a)  _k

 cos

2k

16

• 
  isin
  

2k

16
belgilashni kiritib, quyidagilarni hosil qilamiz:

1. 
   ko’rsatkichga  ₀ tegishli;
   
2. 
   ko’rsatkichga  ₈ tegishli;
   

4 ko’rsatkichga  ₄ ,₁₂ tegishli;

8 ko’rsatkichga  ₂ , ₆ , ₁₀ ,₁₄ tegishli;

16-darajali boshlang’ich ildizlar ₁,  ₃ , ₅ , _7, _9,_11,_13,_15,

b) _{ ,}

 cos

2

20

• 
  isin
  

2

20
belgilashni kiritib, quyidagilarni hosil qilamiz:

1. 
   ko’rsatkichga  ₀ tegishli;
   

2. 
   ko’rsatkichga ₁₀
   

tegishli;

^{4 ko’rsatkichga}  _5,₁₅

tegishli;

5 ko’rsatkichga  _4, ₈ , ₁₂ , ₁₆

tegishli;

10 ko’rsatkichga  _2, _6,_14,₁₈ tegishli;

20-darajali boshlang’iya ildizlar _1, _3, _5, _7, _9,_11,_13,_17,₁₉

s) _{ ,}

 cos

2

24

• 
  isin
  

2

24
belgilashlarni kiritib, quyidagilarni hosil qilamiz:

1. 
   ko’rsatkichga  ₀ tegishli;
   
2. 
   ko’rsatkichga ₁₂ tegishli;
   
3. 
   ko’rsatkichga _8,₁₆ tegishli; 4 ko’rsatkichga ^_6,^₁₈ tegishli; 6 ko’rsatikichga  _4, ₂₀ tegishli;
   

8 ko’rsatkichga  _3, _9,_15, ₂₁ tegishli; 12 ko’rsatkichga  _2,_10,_14, ₂₂ tegishli

24-darajali boshlang’ich ildizlar _1, _5, _7,_11,_13,_17,_19, ₂₃.

2

62. .

1  

63. 0, agar n  1 bo’lsa.

n

nn  1

64. 

1  

, agar   1 bo’lsa;

, agar   1 bo’lsa.

2

65. 

n² 1     2n

1   ²

, agar   1 bo’lsa;

nn  12n  1

6

, agar   1 bo’lsa.

n
66. a)  ; b)  ⁿ ctg ^ ;

2 2 n

67. a) 1; b) 0; c) -1.

68. 
    Yechilishi: Agar z berilgan tenglamani qanoatlantirsa, u holda 
    

bo’ladi. Berilgan ikki nuqtalargacha bo’lgan masofalar nisbati o’zgarmas bo’lgan nuqtalar

to’plami aylanadan iborat (xususiy holda,

  

bo’lsa, bu to’plam to’g’ri chiziq bo’ladi).

k

68. 
    a)  2ictg
    

n

k  0,1,…,n-1; b)

x  5ctg ^k

n

k  1,…,n-1;

3. 
   x  3ctg
   

4k  3_


…
4n

k  0,1,…,n-1. Ko’rsatma.

x  3i  x  3i _k ,  _k 

tenglamani qarang;

 cos ^{4k  3}  isin ^{4k  3} k  0,1, , n 1 2n 2n

3. 
   actg
   

2k  

2n

k  0,1,…,n-1.

68. 
    Yechish.
    

A  cos  isin

bo’lsin. U holda ^{1  ix}   ² , bu yerda

1  ix ^k

_{  cos}   2k _{ isin}   2k

k  0,1,…,m-1.

k
 ² 1

2m

   ^1

2m

  2k

k

k

k
Bundan

x ^^k ^^{k k}  tg .

i ²  1 i   ^1  ^2m

68. 
    Yechish. 
    

х^а 1 va

х^в 1

larning umumiy ildizi; s - ildiz tegishli

bo’lgan ko’rsatkich bo’lsin. U holda s - a va v ning umumiy bo’luvchisi bo’ladi shuning uchun faqat s=1 va =1 bo’lishi mumkin. Teskarisi ko’rinib turibdi.

68. 
    va  - 1 ning a va b -darajali boshlang’ich ildizlari bo’lsin.  ^s  1 bo’lsin.
    

U holda  ^bs

 1;

_ as

 1. Demak bs a ga bo’linadi, as b ga bo’linadi. Natijada s ab ga

bo’linadi.  - 1 ning ab -darajali boshlang’ich ildizi bo’lsin. U holda   ^  ^s (9-misolni

qarang). ^ ildiz a₁  a ko’rsatkichga tegishli bo’lsin. U holda  ¹  a     1,

a b  ^a1b s ^a2b

bu esa mumkin emas. Xuddi shunday, ko’rsatish mumkin.

68. 
    72-masaladan kelib chiqadi.
    

 ^S - 1 ning b- darajali boshlang’ich ildizi bo’lishini

68. 
    Yechish. Avvalo r^ dan oshmaydigan barcha r ga karrali sonlarni yozib olamiz.
    

Bular 1r, 2r,…,r^-1 r. Bunday sonlar

p^{ 1} ta. Natijada, Eyler funksiyasining ta’rifiga ko’ra,

 р^  

р 

_р 1 _{ р}




1 



1 

 . U holda 73-masalaga ko’ra

р _

 n   p  p

... p

 n^1 

^1 

^...^1  ^ .

₁ ₂

1 1

 ^

n _

1 ^

_р 

1 ^{ } 1 ^

_p   _p 

 1  2    

68. 
    Yechish. Agar - birning n -darajali boshlang’ich ildizi bo’lsa, u holda uning
    

^qo’shmasi  ^{ham 1 ning n -darajali boshlang’ich ildizi bo’ladi. Bunda 1, chunki} n  2 ^.

76. a) X ₁ x  x  1; b) X ₂ x  x  1; c) X ₃ x  x ²  x  1;

d) X ₄ x  x ²  1; e) X ₅ x  х ⁴  х ³  x ²  x  1; f) X ₆ x  x ²  х  1; g)

X ₇ x  х ⁶  х⁵  х ⁴  х³  x ²  х  1;

h) X ₈ x  x ⁴  1; i) X ₉ x  х⁶  x³  1;

j) X₁₀ x  х⁴  х³  x²  х  1;

k) X ₁₁ x  х¹⁰  х⁹  х⁸  х ⁷  х ⁶  х ⁵  х ⁴  х³  x ²  x  1;

l) X₁₂ x  х ⁴  x ²  1; m) X ₁₅ x  х⁸  х ⁷  х ⁵  х ⁴  х³  x  1;

n) X ₁₀₅ x  х ⁴⁸  х ⁴⁷  х ⁴⁶  х ⁴³  х ⁴²  2х ⁴¹  x ⁴⁰  х³⁹  х³⁶  х³⁵  х³⁴

 х ³³  х³²  x³¹  х ²⁸  х ²⁶  х ²⁴  х ²²  х ²⁰  х¹⁷  x¹⁶  х¹⁵  х¹⁴ 

х¹³  х¹²  х⁹  х⁸  2x ⁷  х ⁶  х ⁵  х ²  х  1
77. X _р x  x ^р1  x ^р2  ...  х  1.

78.

_{X x  x}  р1р^m1 р

_{ x}  р 2 p^m1

 ...  х ^pm1

 1. Ko’rsatma.

_{x р}m1 _{ 1}

m
ning barcha ildizlari va faqat ular

_{x р}m

 1 ning boshlang’ich ildizlari bo’ladi.

79. 
    Yechish. ₁, ₂ ,..._{ n } - 1 ning n-darajali boshlang’ich ildizlari bo’lsin. U holda
    

1
(72-masalaga qarang)  ₁  ,   ₂ ,..., _{ n }  sonlar 1 ning 2n – darajali boshlang’ich ildizlari bo’ladi.

^X 2n

x  x  ₁

 x   ₂

...x  

 n 

   1^{ n }  x   

yoki (75-masalaga qarang)

 х   ₂ ... х  _т ,

X _2n x  X _n  x.

79. 
    Yechish.
    

_  cos

2 nd

• 
  isin
  

2 nd
- 1 ning nd-darajali boshlang’ich ildizi

bo’lsin, ya’ni k va n o’zaro tub sonlar. k ni n ga bo’lib, k = nq+r, 0ni hosil qilamiz. Bu

yerdan:

2q  ^2r 2q  ^2r

_  cos ⁿ  isin ⁿ ,

d d

ya’ni  - d darajali ildizning qiymatlaridan biri bo’ladi va   cos ^2r  isin ^2r ;  - 1

 r _{n n} r

ning n darajali boshlang’ich ildizi bo’ladi, chunki r va n ning har bir umumiy bo’luvchisi k va n ning umumiy bo’luvchisi bo’ladi.

  cos ^2r  isin ^2r - 1 ning n-darajali boshlang’ich ildizi bo’lsin, ya’ni r va n

^r n n

o’zaro tub sonlar. Quyidagi sonlarni qaraymiz

2q  ^2r 2q  ^2r

  cos ⁿ  isin ⁿ  cos ^{2 r  nq}  isin ^{2 r  nq},

^q d d

nd nd

bu yerda

q  0,1,2..., d 1;

 _q - 1 ning nd darajali boshlang’ich ildizi bo’ladi. Haqiqatan,

agar

r  nq

va nd sonlar bir vaqtda r tub songa bo’linsa, n va r sonlar ham p ga bo’linar edi.

Bu esa mumkin emas.

81. Yechish. ₁,₂ ,..._{ n}

^{ } ^{n/ }
- 1 ning n^ darajali ildizlari bo’lsin. U holda


^{Х } ^xn// ^ ^

 _{ xn //}

 _

^ ^{. x  }

 ,1

x  

 ,2

 x  
// ^-

_{ xn} //

^{  }
ning

ⁿ  

 1 _{ }

 ,n

 

^{  } ^{n/ }

/
chiziqli ko’paytuvchilarga yoyilmasi bo’lsin. U holda
^{Х } ^xn// n _

^ ^





in^//



 1

i1



^x  _{ ,.i} ^. 80-

masalaga ko’ra har bir

^{x  } ,.i

chiziqli ko’paytuvchi

X _n x

yoyilmaga kiradi va aksincha.

Bundan tashqari,

 n  n ^// n ^/ 
bo’lganligi uchun

^{X x va X } ^{x n}// ^
larning

darajalari teng.

13. 
    ^{n /}  
    

82. 
    Ko’rsatma. 77, 78, 72- masalalardan foydalaning va
    

1) r – tub bo’lsa,  р  1,;

2) r – tub, 1 bo’lsa,  р^  0 ;

3) a va b o’zaro tub bo’lsa, аb  аb.

82. 
    Yechish. 1 ning barcha n-darajali ildizlari yig’indisi 0 ga teng. 1 ning har bir n-
    

darajali ildizi n ning bo’luvchisi bo’lgan d ko’rsatkichga tegishli i obratno, to _ d   0 .

2

d n

2

82. 
    Yechish.
    

_  cos _n

• 
  isin
  

n

ildiz n₁ ko’rsatkichga tegishli bo’lsin. U

holda x-_ ko’paytuvchi faqat shunday x^d-1 ikki hollarda qatnashadiki, d son n₁ ga bo’linadi.

Bunda d n ning n₁ karrali barcha bo’luvchilari to’plamida,

ⁿ esa

d

ⁿ ning barcha

n₁

bo’luvchilari to’plamida o’zgaradi. Shunday qilib, x-_ ko’paytuvchi o’ng tomonda

_ d₁ 

ko’rsatkich bilan qatnashadi. Agar

ⁿ  1

n

bo’lsa, bu yig’indi 0 ga, n = n₁

_d n ₁

1 _n1

bo’lganda esa 1 ga teng.

82. 
    Yechish. Agar
    

n  p^ , r – tub son bo’lsa,

X _n 1  p

bo’ladi. Agar

n  p^1 p^2 ...p^ ( p , p ,. , p

– har xil tub sonlar) bo’lsa, u holda (81-masalaga

1 2  1 2 

qarang)

X _n 1  X

1; bunda n^/ =


э
n

p₁ p₂ ... p_ .

Endi n= p₁

p₂ ... p_ ; 

 2;

n₁ 


n

p


bo’lsin.

n₁ ning barcha bo’luvchilarini hosil

qilish uchun n ning barcha bo’luvchilariga ularning r_k ga ko’paytmalarini qo’shish yetarli. Shuning uchun

 ⁿ 

 ⁿ 

^ n ^

X x 

 x

 1 ^{ }   x

 1 ^{ }   x

 1 ^{ k } 

d

ⁿ d n

^ 

d

d

d n<sup>/

</sup>  

d

d n₁

dp_k

 ^{ }

dp

.

 X _/ x X x ^ 


n

_n/
^1 p

Bu yerdan X _n 1  1.

82. 
    Yechish. 1) n – birdan katta toq son bo’lsin. U holda (79-masalaga qarang)
    

X _n 1  X _2n 1  1;

2. 
   n = 2^ bo’lsin, u holda
   

X _n 

хⁿ  1


n

n

 х ²

 1 va

X _n 1 k=1 bo’lganda 0 ga,

k>1 bo’lganda 2 ga teng.

х ² 1

2. 
   n  2n₁ , n₁ - birdan katta toq son bo’lsin. U holda (79-masalaga qarang)
   

1
X _n  1  X_n 1 va natijada X _n 1 n₁  p^ bo’lganda (r – tub son) p ga, n₁  p

bo’lganda 1 ga teng.

4) n  2^ n , >1, n  p^1 p^2 ....p^s ( р , р ,...р

• 
  har xil toq sonlar) bo’lsin.
  

1 1 1 2 s 1 2 s

Bu holda (81-masalaga qarang) X _n х  Х ₂ р₁ р₂ ....р_s х^ , bunda

  2^{ 1} p^11...p^{s 1} . Bu yerdan kelib chiqadiki, X  1  X 1  1.

1 s n n

82. 
    Yechish. ₁,  ₂ ,…,_{ n} - 1 ning boshlang’ich ildizlari bo’lsin:
    

n²   ²   ² …   ²_{ } 

S  ₁ ₂

 ₁ ₃

…  

 n 1^

 n  ^

1 2  n _.

2

1. 
   
   
   
   i
   m – toq son bo’lsin. Bu holda ² 1 ning n–darajali boshlang’ich ildizi va faqat
   

i  j bo’lganda  ²   ² bo’ladi. Shuning uchun

 ²   ² …   ²

 n va

i j

n²  n

1 2  n 

S  .

2

2. 
   n  2n₁ ; n₁ - toq son bo’lsin. Bu holda _i
   

(72-masalaga qarang) 1 ning n₁

darajali

boshlang’ich ildizi bo’ladi va shuning uchun (1) ga qarang)

 ²   ² …   ²      

_ n²  n

1 2  n  ⁿ1

n . Shunday qilib, bu holda S .

2

3. 
   n  2^k n
   

, k  1, n - toq son bo’lsin. Bu holda  ²

ildiz

n

ko’rsatkichga tegishli

1 1 i ₂

bo’ladi. 80-masalaga ko’ra ₁, ₂ ,…_{ n}

lar ₁,₂ ,…,

 ⁿ 

larning kvadrat ildizlaridan

^  

 ² 

iborat bo’ladi, bu yerda

₁,₂ ,…,

_{ n } - 1 ning

n

- darajali boshlang’ich ildizlari. Bu

^   2

yerdan kelib chiqadiki,

 ² 




2 2 2

^  ⁿ 

 ⁿ 

  …  _{ n 
}

 2^₁  ₂ …  

_{ n } ^  2<sub>

</sub>; S  -_{ } .

^{ }   ^

 ² 

 ² 

 ^{ 2 } 

82. 
    Yechish. y ning istalgan qiymatlarida n ning toq qiymatlarida
    

n1


2
S  _ ^x

x0

y n1


2
 _  ^x x y

n1

 _

S 0

 y S ² _;

S ^  n1 ^{ y}2 ,

_S / _{S } ^n1_  y² _{S } ^n1 _e y^{2 n1}_ y s ^{2 } _

n1 n1



y0

2 yss²
n1_



y 0

_s2 n1
2 ys ^

_

y0

n1



s0

_s2 n1





2s ^y

^ ^

_^ _

^  n  _

_

  n .

y0 s0

s0_

/

y0 _


 ⁿ ²

 

2

s1

n _

y0

n juft bo’lganda SS

 n  n ^{ }

 n_1   12 _ , chunki n ga bo’linmaydigan

2s uchun
S  ^
n1

_ 2sy

y 0

n _
 0 . Shunday qilib,

 

S  , agar n – toq bo’lsa va

n_1  12 _ , agar n – juft bo’lsa.

 

82. 
    Yechish.
    

_{u  1 } a  bi

n _n

6-§.
ni trigonometrik shaklga keltiramiz va

n

u
ⁿ ning


absolyut qiymati va argumentining limitlarini topamiz. Natijada quyidagini hosil qilamiz:

r ⁿ  uⁿ



n
 ^1 

2a _

a ²  b ^{2 }n

2

 e^a ;

arg uⁿ

 n ,

bunda

n

sin 

n _



n
 ^b  0 . 

_n2

n
 0,





deb hisoblab,

n


n
n 

n
b _ ^{ n}

 b ni hosil

nr_n

r_n sin  _n

qilamiz. Shunday qilib, lim uⁿ  e^a cosb  isinb.

n ⁿ

82. 
    Yechish.
    

cos₁  isin₁ cos ₂  isin ₂   cos₁   ₂   isin ₂   ₂ 

formula

_ei_{1 e}i <sub>2

 e</sub>i₁ ₂ 

formulaga, ya’ni bir xil asosli darajalarni ko’paytirish

qoidasiga aylanadi. Xuddi shunday, Muavr formulasi e^i n  e^in

formulaga aylanadi.

91. a) 1  2k  1

i ; b) ln2  2k  1

i ; c) 4k  1^{ i} ;

2

d) 8k  1^{ i}

4
; e) –1; f) e

2k iAn2 _{; g) e}

2k ^

4 _.

92. 
    i arccosx  2k
    

i .

sin
_{1 e}i

• 
  _e i
  

92. 
    Yechish.
    

tg 

cos

 _i  _ei

• 
  _e i
  

ni hosil qilamiz.

tg  x

bo’lsin. U

holda e^2i

_ 1  ix _, 1  ix

  ¹

2i

 ln ^{1  ix}  k .

1  ix

Foydalanilgan adabiyotlar

1. 
   B.L. Van der Varden. Algebra. M., Nauka, 1976.
   
2. 
   Kostrikin A.I. Vvedeniye v algebru. M., 1977, 495 str.
   
3. 
   Leng S. Algebra. M. Mir, 1968.
   
4. 
   Faddeyev D.K. Leksii po algebre. M., Nauka, 1984, 415 st.
   
5. 
   Faddeyev D.K., Sominskiy I.S. Sbornik zadach po vysshey algebre. M., Nauka, 1977.
   
6. 
   Sbornik zadach po algebre pod redaksiyey. A.I. Kostrikina, M., Nauka, 1985.
   
7. 
   Xojiyev J., Faynleb A.S. Algebra va sonlar nazariyasi kursi, Toshkent,
   

«O’zbekiston», 2001.

8. 
   Narzullayev U.X., Soleyev A.S. Algebra i teoriya chisel. I-II chast, Samarkand, 2002.
   

Mundarija

1. 
   §. Algebraik shakldagi kompleks sonlar 3
   
2. 
   §. Kompleks sonning geometrik tasviri va
   

trigonometrik shakli… 8

3. 
   §. Darajaga ko’tarish va ildiz chiqarish 15
   
4. 
   §. Yig’indi va ko’paytmalarni kompleks sonlar
   

yordamida hisoblash 19

5. 
   §. Birning ildizlari 26
   
6. 
   §. Kompleks o’zgaruvchining ko’rsatkichli va logarifmik Funksiyalari 31
   

Javoblar. Ko’rsatmalar. Yechilishlar 32

Foyadalanilgan adabiyotlar 46