Kompleks sonlar nazariyasi

§. Darajaga ko’tarish va ildiz chiqarish

z  r(cos  isin)  0 bo’lsin. U holda har qanday n butun son uchun

zⁿ  r ⁿ(cosn  i sin n)

Muavr formulasi o’rinli.

Muavr formulasi kompleks sondan italgan darajali ildiz chiqarish masalasini hal qilishga imkon beradi. w kompleks son z kompleks sonning n-

darajali n  N  ildizi deyiladi, agar wⁿ  z bo’lsa. z ning n-darajali ildizini
orqali belgilaymiz.

Berilgan z kompleks sonning n-darajali ildizi bir nechta qiymatlarga ega,

shuning uchun = w yozuv w son shu qiymatlardan biri ekanligini bildiradi.

Bitta mulohaza davomida bitta qiymatini bildiradi.

ifoda z kompleks son n-darajali ildizining faqat

Agar tekstdan ildizning aynnan shu qiymati haqida gapirilayotganligi ma’lum bo’lsa, bu haqida alohida eslatilmaydi, masalan, kompleks son modulini hisoblashda.

Agar z  r(cos  isin)  0 bo’lsa, z ning n-darajali ildizi uchun

 w_k

 ⁿ r (cos ^{  2}

n

 isin ^{  2} ) ,

n

bu yerda

k  0,1..., n 1, formula o’rinli. Bu formula z kompleks son n-darajali

ildizining n ta har xil qiymatilarini beradi.

^1 

_{3i }20

1-m i s o l. Hisoblang: ^



Yechish.

 _.

1  i _

1  3i  2(cos ^р  isin ^р ) , 1  i  2(cos ⁷ р  isin ⁷ р),

3 3 4 4

bo’lganligi sababli

_ р р

_20

^1  3i ^20 ^

2(cos  isin )

3 3

  _

_ р р _



 ^{р р} ^20

 

1  i

_   <sub>р


р</sub>  _


2 cos_{ 3}  _{4 }  isin_{ 3}  _{4 } 

  ^



2(cos(

• 
  )  isin(
  

4


_ 
20

 ) ^

4 

 ^{   }






^ 2^ cos ⁷ 

_{ } 12

 isin ⁷ _^


12 _

 2^{10 } cos




140 _

12

 isin

140

12

 ^ 




10 ^{ 7}

7 _{ 10} ^ 2

₂  ₉

 2 _ cos 

_ 4

• 
  isin  _  2
  

4 _

^  i

_ 2

^  2

2 _

21  i. ■

2-m i s o l. Hisoblang: (1  cosб  isinб)ⁿ . Yechish.

^2сos ^{ } сos ^  isin ^{ },

агар

0    

булса

2

2

2
_  

1  сos  isin  _ ^{ }


^ 2сos ^{ } сos ^{  2}  isin ^{  2 },

агар

    2

булса

2


_^ _ 2 2 ^

,

(28 (r) mashqqa qarang) bo’lganligi uchun

0    

bo’lganda

(1  cos  isin )ⁿ  2ⁿ cos^{n  } cos ^n  isin ^{n } ,

    2

 


2

2

2
 

bo’lganda esa

1  cos  isin ⁿ

 (2)ⁿ cos^{n  } cos^n  n ^  isin^n  n ^. ■

^ 


2
2 _{ } 2

  ^

^{  }

3-m i s o l. ⁴ 16

ildizning barcha qiymatlarini toping.

Yechish.

z  16

ni trigonometrik shaklga keltiramiz:

z  16  16cos  isin .

U holda ildiz chiqarish formulasiga ko’ra

w  2^ cos ^{р  2рк}  isin ^{р  2рк } ,

k  0,1,2,3.

_к  

_ 4 4 _

Natijada,

w  2^ cos ^р  isin ^{р } 



• 
  i ,
  

w  2^ cos ³   isin ³  ^  



• 
  i ,
  

4




₀  ₄ 

^{1 } 4 4 ^




w  2^ cos ⁵   isin ⁵  ^  



• 
  i ,
  




^{2 } 4 4 ^

w  2^ cos ⁷   isin ⁷  ^ 



 i . ■


^{3 } 4 4 ^

4-m i s o l.
yozing.

to’plam elementlarining trigonometrik shaklini

Yechish.

 1  i 

2^ cos ³   isin ³  ^ va

4

4
 

 

1  i

 ^ cos^  ^{ }  isin^ ^{ }

^

bo’lganligi uchun

3
^2  

 ^{ }

 ^

^{ 3 }

1  i _

^ cos^{ 3}   ^{ }  isin^{ 3}   ^{ } 



^ cos ¹³   isin ¹³  ^ .

1  i 3

^ 

²  ^

  ^ 

^{  3 } ^{2  12}



12 _

4

4

3
Natijada,

1  i 1 _ 13  24
13  24 _

⁴   _ cos

• 
  isin
  

_ ,   0,1,2,3. ■

^{1  i 3 8 2}  ⁴⁸

48 _

Muavr formulasi ba’zi trigonometrik ifodalarni almashtirishda qulayliklar yaratadi.

5-m i s o l. tg5 ni tg orqali ifodalang.

Yechish. Darajaga ko’tarish formulasiga ko’ra

cos 5  i sin 5  cos  i sin  ⁵ .

Nyuton binom formulasini qo’llab, quyidagini hosil qilamiz:

cos5  isin5  cos⁵  5icos⁴sin  10cos³sin² 

 10icos ²sin³  5cossin⁴  isin⁵

chunki

i ²  -1, i³

 -i, i⁴

 1, i⁵

 i . Mos ravishda haqiqiy va mavhum

qismlarini tenglashtirib,

cos5  cos⁵  10cos³sin²  5cossin⁴, sin5 

 5cos ⁴sin  10cos ²sin²  sin⁵

munosabatlarni hosil qilamiz. Bulardan

tg5

_ 5cos ⁴sin  10cos ²sin ²  sin⁵

cos ⁵  10cos³sin ²  5cossin ⁴

5tg 10tg ³  tg ⁵



1  10tg ²  5tg ⁴ ^.

Bu yerda biz kasrning surat va maxrajini

cos⁵

ga bo’ldik. ■

6-m i s o l.

sin⁵

ni kaðrali argumentlarning trigonometrik funksiyalari

orqali chiziqli ifodalang.

Yechish.

z  cos  isin

bo’lsin, u holda

_z -1

 cos  isin ,

z ^k  cosk  isin k , z ^k  cosk - isin k ,

cos 

z  z ^-1

,

2

sin 

z - z ^-1

,

2i

cos k 

_z k _{ z} -k

2

, sin k 

_z k _{ z} -k

.

2i

Bularga ko’ra

^ z  z ^{1 }5
z ⁵  5z ³  10z 10z ^1  5z ^3  z ^5

sin⁵  



 

2i _



32i

_ ^z ⁵  z ^{5 } 5^z ³  z ^{3 } 10^z  z ^{1 } _ 2isin5 10isin3  20isin _

32i 32i

₌ sin5  5sin3  10sin _{. ■}

16

Xuddi shunga o’xshash yo’l Bilan istalgan

cos^ 

sin^m

ifodani karrali

argumentning trigonometrik funksiyalari orqali chiziqli ifodalash mumkin.
M A S H Q L A R

^1  i

_20 _

3  i ^24

32. 
    Hisoblang: a) ^
    




1  i

^ ; b)



^1  ^ ;

 ² 

1  i

c)

_315

_ 1  i

_315
; d)

1  i^2n1

,

n  N ; e)

z  tg1  i⁴ ;

1  i²⁰

1  i²⁰

 6 _

1  i^2n1


5
6 _

f) tg 2  i⁴ ; g)

 ^sin

_ 5

• 
  i _1  cos
  



<sup> .

5 </sup>

32. 
    Isbotlang:
    

1  itg  n



 
1  itg 

_ 1  itg n _.

1  itg n

32. 
    Agar
    



z  ¹  2cos z



bo’lsa,

z ^m 
¹  2cos m _z m
bo’lishini isbotlang.

32. 
    1   ⁿ ifodani soddalashtiring, bu yerda   cos ²   isin ²  .
    

3 3

32. 
    Ildizning qiymatlarini trigonometrik shaklda yozing:
    

a) ; b) ¹⁰ 5121  i 3; c) ⁸ 8 21  i .

32. 
    Ildizning qiymatlarini algebraik shaklda yozing:
    

a) ³ 1; b) ⁴ 1; c) ⁶ 1; d)

; e)

; f)

; g) ;

h) ; i)

; j) ⁴  721  i

3; k) ; l) ;

18  32

m) ; n)

; o) ⁴

 ; p) 4 .

1  i 3 91  i 3

32. 
    Tenglamani yeching: a)
    

z ⁵ 1  i

3  0 ; b)

z ⁶  64  0 .

32. 
    
    

5  12i va

5 12i

sonlarning haqiqiy qismlari manfiy bo’lgan

holda z 

5  12i 

5  12i 

5  12i

5 12i

sonning algebraik shaklini yozing.

32. 
    
    

z¹⁰  z ⁵  992  0

tenglamaning haqiqiy qismlari manfiy bo’lgan

yechimlarini toping.

32. 
    cos x va sin x lar orqali ifodalang:
    

a) sin 6 x + cos 6 x; b) cos 8 x; c) sin 8 x.

32. 
    tg 7x ni tg x orqali ifodalang.
    
33. 
    tg nx ni tg x orqali ifodalang, bunda n – butun musbat son.
    

44*.

sinⁿnx

va cosⁿnx

larni (n – butun musbat son) x ga karali

burchaklarning sinusi va kosinuslarining birinchi darajali ko’phadi ko’rinishida ifodalash mumkinligini isbotlang.

45. x ga karrali burchaklar trigonometrik funksiyalarining birinchi darajali ko’phadlari ko’rinishida tasvirlang:

^a) sin³ x ; b)

sin⁴ x ; c)

cos ⁵ x ;

^d) cos ⁶ x ; e )

sin³ x cos ⁵ x ; f)

cos⁷ x  sin⁷ x .

3.