Kirish. I bob sirqul va chizg’ich yordamida yasashlar

O ddiy olti burchakli mumkinkompas va to'g'ri chiziq yordamida qurish. Quyidaqurilish usuli berilgandoirani 6 qismga bo'lish orqali. Muntazam olti burchakli tomonlarning aylana radiusiga tengligidan foydalanamiz. Doira diametrlaridan birining qarama-qarshi uchlaridan R radiusli yoylarni tasvirlaymiz.Ushbu yoylarning berilgan
aylana bilan kesishish nuqtalari uni 6 ta teng qismga bo'ladi. Topilgan nuqtalarni izchil bog'lab, muntazam olti burchak olinadi.


Muntazam beshburchakning qurilishi.

muntazam beshburchak bo'lishi mumkinkompas va to'g'ri chiziq yordamida yoki uni berilgan joyga o'rnatish orqali qurilgandoira, yoki berilgan tomon asosida qurish orqali. Bu jarayon Evklid tomonidan tasvirlanganuning Elementlarida, taxminan miloddan avvalgi 300 yil. e.

Berilgan doirada muntazam beshburchak qurishning bir usuli:

Beshburchak chizilgan aylana quring va uning markazini shunday belgilangO . (Bu o'ngdagi diagrammadagi yashil doira).
Doiradagi nuqtani tanlangA , bu beshburchakning cho'qqilaridan biri bo'ladi. Chiziqni o'tkazingO VaA .
Chiziqga perpendikulyar chiziq quringO.A nuqtadan o'tishO . Uning aylana bilan kesishgan joylaridan birini nuqta sifatida belgilangB .
Nuqta qurishC o'rtasidaO VaB .
C nuqta orqaliA . Uning chiziq bilan kesishgan joyini belgilangOB (asl doira ichida) nuqta sifatidaD .
Markazda aylana chizingA D nuqtasi orqali ushbu doiraning asl (yashil doira) bilan kesishgan joyini nuqta sifatida belgilangE VaF .
Markazda aylana chizingE nuqta orqaliA G .
Markazda aylana chizingF nuqta orqaliA . Uning asl doira bilan boshqa kesishmasini nuqta sifatida belgilangH .
Oddiy beshburchak yasangAEGHF .
Yechilmaydigan muammolar
Antik davrda quyidagi uchta qurilish vazifasi qo'yilgan:
Burchak trisektsiyasi - ixtiyoriy burchakni uchta teng qismga bo'lish.
Boshqacha qilib aytganda, burchakning trisektorlarini - burchakni uchta teng qismga bo'luvchi nurlarni qurish kerak. P. L. Vanzel 1837 yilda masalan,
a = 360°/n burchaklar uchun trisektsiyani amalga oshirish mumkin bo‘lgan taqdirdagina masalani yechish mumkinligini isbotladi, agar n butun soni 3 ga bo‘linmasa. Biroq, vaqti-vaqti bilan matbuotda e’lon qilingan. (noto'g'ri) burchakni kompas va to'g'ri chiziq bilan uchga bo'lish usullari.
Kubni ikki barobarga oshirish - hajmi berilgan kub hajmidan ikki baravar katta bo'lgan kompas va chizg'ichli kub yasash bo'yicha klassik antik masala.
Zamonaviy yozuvda muammo tenglamani yechishgacha qisqartiriladi. Bularning barchasi uzunlik segmentini qurish muammosiga to'g'ri keladi. P. Vanzel 1837 yilda bu masalani sirkul va to'g'ri chiziq yordamida hal qilib bo'lmasligini isbotladi.
Doirani kvadratga solish - maydoni bo'yicha berilgan doiraga teng bo'lgan kvadratning kompas va o'lchagich yordamida qurilishni topish vazifasi.
Ma'lumki, sirkul va chizg'ich yordamida siz barcha 4 ta arifmetik amalni bajarishingiz va kvadrat ildizni olishingiz mumkin; shundan kelib chiqadiki, aylana kvadrati, agar shunday amallarning chekli soni yordamida uzunligi p bo'lgan segmentni qurish mumkin bo'lsa, mumkin bo'ladi. Shunday qilib, bu muammoning yechilmasligi p sonining algebraik bo'lmagan tabiatidan (transsendensiyadan) kelib chiqadi, bu 1882 yilda Lindemann tomonidan isbotlangan.
Kompas va chizg'ich yordamida hal qilib bo'lmaydigan yana bir mashhur muammoberilgan uch uzunlikdagi bissektrisa bo‘yicha uchburchak qurish .
Bundan tashqari, bu muammo hatto trisektor mavjud bo'lganda ham hal etilmaydi.
Faqatgina 19-asrda bu uchta muammoni faqat kompas va to'g'ri chiziq yordamida hal qilib bo'lmasligi isbotlangan. Qurilish imkoniyati to'g'risidagi masala Galua nazariyasiga asoslangan algebraik usullar bilan to'liq hal qilinadi.
Bir vaqtlar sirli ma'no muntazam ko'pburchaklar qurilishiga kiritilgan.
Shunday qilib, Pifagorlar tomonidan asos solingan diniy va falsafiy ta'limotlarning izdoshlari va qadimgi Yunonistonda yashagan pifagorchilar (V Men-men Vasrlar Miloddan avvalgi BC), ularning birlashishi belgisi sifatida muntazam beshburchakning diagonallari tomonidan tashkil etilgan yulduzli ko'pburchakni qabul qildilar.
Ba'zi muntazam ko'pburchaklarni qat'iy geometrik qurish qoidalari qadimgi yunon matematigi Evklidning "Boshlanishlar" kitobida keltirilgan.IIIichida. Miloddan avvalgi. Bu konstruksiyalarni bajarish uchun Evklid faqat o‘lchagich va sirkuldan foydalanishni taklif qildi, bunda o‘sha paytda oyoqlarni ulash uchun ilmoqli moslama bo‘lmagan (asboblarda bunday cheklanish qadimgi matematikaning ajralmas talabi edi).

Muntazam ko'pburchaklar qadimgi astronomiyada keng qo'llanilgan. Agar Evklid matematika nuqtai nazaridan bu raqamlarni qurish bilan qiziqqanbo'lsa, qadimgi yunon astronomi Klavdiy Ptolemey uchun (taxminan 90 - 160 yillar) astronomik muammolarni hal qilishda yordamchi vosita sifatida zarur bo'lib chiqdi. Shunday qilib, Almagestning 1-kitobida butun o'ninchi bob muntazam beshburchaklar va o'nburchaklar qurilishiga bag'ishlangan.

1. 
   Biroq, sof ilmiy ishlardan tashqari, muntazam ko'pburchaklar qurilishi quruvchilar, hunarmandlar va rassomlar uchun kitoblarning ajralmas qismi edi. Bu raqamlarni tasvirlash qobiliyati me'morchilik, zargarlik va tasviriy san'atda azaldan talab qilingan.
   
2. 
   Rim meʼmori Vitruviyning (miloddan avvalgi 63-14-yillarda yashagan) “Arxitektura boʻyicha oʻn kitobi”da aytilishicha, shahar devorlari rejada muntazam koʻpburchak kabi koʻrinishi kerak, qalʼa minoralari esa “dumaloq yoki koʻpburchak shaklida boʻlishi kerak. to'rtburchaklar qamal qurollari bilan vayron qilingan.
   
3. 
   Shaharlarni rejalashtirish Vitruviy uchun katta qiziqish uyg'otdi, u ko'chalarni asosiy shamollar ular bo'ylab esmasligi uchun rejalashtirish zarur deb hisoblagan. Taxminlarga ko'ra, sakkizta shunday shamol bor va ular ma'lum yo'nalishlarda esadi.
   

Uyg'onish davrida muntazam ko'pburchaklar, xususan, beshburchaklar qurish oddiy matematik o'yin emas, balki qal'alar qurish uchun zarur shart edi.

Muntazam olti burchakli buyuk nemis astronomi va matematigi Yoxannes Kepler (1571-1630) tomonidan maxsus tadqiqot mavzusi bo'lib, u o'zining "Yangi yil sovg'asi" kitobida yoki olti burchakli qor parchalari haqida gapiradi. U qor parchalari olti burchakli shaklga ega bo'lish sabablarini muhokama qildi, xususan, quyidagilarni ta'kidlaydi: “... tekislikni faqat quyidagi raqamlar bilan bo'shliqlarsiz qoplash mumkin: teng tomonli uchburchaklar, kvadratlar va muntazam olti burchaklar. Bu raqamlar orasida muntazam olti burchakli eng katta maydonni egallaydi.
Geometrik konstruktsiyalar bilan shug'ullangan eng mashhur olimlardan biri buyuk nemis rassomi va matematigi Albrecht Dyurer (1471 -1528) bo'lib, u o'zining "Ko'rsatmalar ..." kitobining muhim qismini ularga bag'ishlagan. U 3. 4, 5 ... 16 tomonli muntazam ko'pburchaklar qurish qoidalarini taklif qildi. Dyurer tomonidan taklif qilingan doirani bo'lish usullari universal emas, har bir holatda individual uslub qo'llaniladi.
Dyurer badiiy amaliyotda, masalan, parket uchun turli xil bezak va naqshlarni yaratishda muntazam ko'pburchaklar qurish usullarini qo'llagan. Bunday naqshlarning eskizlarini u Niderlandiyaga safari paytida qilgan, u erda ko'plab uylarda parket pollari topilgan.
Dyurer halqalarga (oltita teng qirrali uchburchak, to‘rtta to‘rtburchak, uch yoki oltita olti burchakli, o‘n to‘rtta yetti burchakli, to‘rtta sakkizburchakli halqalar) bog‘langan oddiy ko‘pburchaklardan bezak yasagan.

Xulosa
Shunday qilib,