Kirish. I bob sirqul va chizg’ich yordamida yasashlar

1.2.Sirkul va chizg'ich yordamida qurish qoidalari.

Agar asboblarning xilma-xilligini nazarda tutgan holda, qurilish muammolarining kengroq to'plamini hal qilish mumkinligi tabiiy bo'lsa, unda, aksincha, asboblarga qo'yilgan cheklovlar ostida, hal qilinadigan masalalar sinfi torayadi. Italiyalik kashfiyotni yana diqqatga sazovor deb hisoblash kerak Mascheroni (1750-1800):sirkul va chizg'ich bilan bajariladigan barcha geometrik konstruktsiyalarni faqat bitta sirkul bilan bajarish mumkin. Albatta, shuni ta'kidlash kerakki, ikkita berilgan nuqta orqali o'lchagichsiz to'g'ri chiziq o'tkazishning iloji yo'q, shuning uchun bu asosiy konstruktsiya Mascheroni nazariyasi bilan qamrab olinmaydi. Buning o'rniga, agar chiziqning ikkita nuqtasi berilgan bo'lsa, berilgan deb taxmin qilish kerak. Lekin faqat bitta kompas yordamida shu tarzda aniqlangan ikkita toʻgʻri chiziqning kesishish nuqtasini yoki toʻgʻri chiziqning aylana bilan kesishgan nuqtasini topish mumkin.

Mascheroni qurilishining eng oddiy misoli, ehtimol, berilgan AB segmentini ikki barobarga oshirishdir. Yechim allaqachon berilgan. Keyinchalik, biz ushbu segmentni ikkiga bo'lish haqida bilib oldik. Endi markazi O bo'lgan AB aylana yoyining yarmini qanday bo'lish kerakligini ko'rib chiqamiz. Mana bu konstruktsiyaning tavsifi AO radiusi bilan markazlari A va B boʻlgan ikkita yoy chizamiz. O nuqtadan bu yoylar ustiga shunday ikkita OP va OQ yoylarini yotqizamizki, OP = OQ = AB... Keyin yoyning markaz P va radiusi PB va markaz Q va radiusi QA bo‘lgan yoyning kesishish R nuqtasini topamiz. Nihoyat, OR segmentini radius sifatida olib, markaz P yoki Q bo'lgan yoyni AB yoyi bilan kesishmagacha - kesishish nuqtasini tasvirlaymiz va AB yoyining istalgan o'rta nuqtasidir. Isbot o'quvchiga mashq sifatida qoldiriladi.
Mascheroni asosiy fikrini sirkul va o'lchagich bilan bajarilgan har bir konstruktsiyani bitta kompas bilan qanday bajarish mumkinligini ko'rsatib, isbotlab bo'lmaydi: axir, son-sanoqsiz konstruktsiyalar mavjud. Ammo, agar biz quyidagi asosiy konstruktsiyalarning har biri bitta kompas bilan bajarilishi mumkinligini aniqlasak, xuddi shu maqsadga erishamiz:

1. 
   Agar uning markazi va radiusi ko'rsatilgan bo'lsa, doira chizing.
   
2. 
   Ikki doiraning kesishish nuqtalarini toping.
   
3. 
   Chiziq va aylananing kesishish nuqtalarini toping.
   
4. 
   Ikki chiziqning kesishish nuqtasini toping.
   

Har qanday geometrik konstruktsiya (odatiy ma'noda, sirkul va o'lchagichni nazarda tutgan holda) ushbu elementar konstruktsiyalarning cheklangan ketma-ketligini bajarishdan iborat. Ulardan birinchi ikkitasini bitta kompas bilan amalga oshirish mumkinligi aniq. 3 va 4-sonli murakkabroq konstruktsiyalar oldingi paragrafda muhokama qilingan inversiya xususiyatlaridan foydalangan holda amalga oshiriladi.

3-konstruktsiyaga murojaat qilaylik: biz bu aylananing kesishish nuqtalarini shu A va B nuqtalardan o'tuvchi to'g'ri chiziq bilan topamiz. O nuqtadan tashqari, mos ravishda AO va BO ga teng markazlari A va B va radiusli yoylar chizamiz. , ular P nuqtada kesishadi. Keyin C aylanaga nisbatan P nuqtaga qarama-qarshi Q nuqtasini quramiz (174-betda tasvirlangan qurilishga qarang). Nihoyat, markazi Q va radiusi QO bo'lgan doira chizing (u, albatta, C bilan kesishadi): uning C aylana bo'ylab kesishgan X va X nuqtalari kerakli nuqtalar bo'ladi. Buni isbotlash uchun nuqtalarning har birini aniqlab olish kifoya. X va X" O va P dan bir xil masofada joylashgan (A va B nuqtalarida bo'lgani kabi, ularning o'xshash xususiyati darhol qurilishdan kelib chiqadi). Darhaqiqat, Q nuqtaga qarama-qarshi nuqta X va X nuqtalardan aylana radiusiga teng masofada joylashganligiga murojaat qilish kifoya (173-betga qarang). Shuni ta'kidlash kerakki, X, X" va O nuqtalardan o'tuvchi aylana C aylanaga nisbatan inversiyadagi teskari AB chiziqdir, chunki bu doira va AB chizig'i C bilan bir xil nuqtalarda kesishadi. (Inversiya paytida asos aylananing nuqtalari harakatsiz qoladi.) Agar AB chizig'i C markazidan o'tsagina ko'rsatilgan konstruktsiyani amalga oshirish mumkin emas. Ammo keyin kesishish nuqtalarini o'rta nuqtalar sifatida tasvirlangan konstruktsiya yordamida topish mumkin. B 1 va B 2 nuqtalarda C bilan kesishuvchi markaz B bo'lgan ixtiyoriy aylana chizilganda olingan C yoylarining.

Doira chizish usuli, to'g'ri chiziqning teskarisi "ikki berilgan nuqtani bog'lab, darhol 4-masalani hal qiladigan konstruktsiyani beradi. Chiziqlar A, B va A, B nuqtalari bilan berilgan bo'lsin" (50-rasm) Chiz. ixtiyoriy C aylana va yuqoridagi usuldan foydalanib AB va A "B" to'g'ri chiziqlarga qarama-qarshi doiralar quramiz.Bu doiralar O nuqtada kesishadi va yana bir Y nuqtada Y nuqtaga qarama-qarshi bo'lgan X nuqta kerakli kesishish nuqtasidir. : uni qanday qurish kerakligi yuqorida allaqachon tushuntirilgan edi.kerakli nuqta, bu Y nuqtaning bir vaqtning o'zida ikkala AB va A "B" to'g'rilariga tegishli nuqtaga qarama-qarshi bo'lgan yagona nuqta ekanligi, shuning uchun X nuqtasi, qarama-qarshiligi aniq. Y ga, bir vaqtning o'zida AB va A "B" da yotishi kerak ...

Bu ikki konstruksiya Mascheroni konstruksiyalari o‘rtasidagi ekvivalentlik isbotini tugatadi, buning uchun faqat sirkul va sirkul va to‘g‘ri chiziqli oddiy geometrik konstruksiyalardan foydalanishga ruxsat beriladi.
Biz bu erda ko'rib chiqqan individual muammolarni hal qilishning nafisligi haqida qayg'urmadik, chunki bizning maqsadimiz Mascheroni konstruktsiyalarining ichki ma'nosini aniqlash edi. Ammo misol sifatida biz oddiy beshburchakning qurilishini ham ko'rsatamiz; aniqrog'i, biz muntazam chizilgan beshburchakning cho'qqilari bo'lib xizmat qila oladigan aylananing beshta nuqtasini topish haqida gapiramiz.

A nuqta K aylanadagi ixtiyoriy nuqta bo‘lsin. Muntazam chizilgan oltiburchakning yon tomoni aylananing radiusiga teng bo‘lgani uchun K dagi B, C, D nuqtalarni AB = BC = CD bo‘ladigan tarzda kechiktirish qiyin bo‘lmaydi. = 60 ° (51-rasm). Radiusi AC ga teng boʻlgan markazlari A va D boʻlgan yoylarni chizish; ular X nuqtada kesishsin. U holda, agar O K ning markazi bo‘lsa, markazi A va radiusi OX bo‘lgan yoy K ni BC yoyining o‘rtasi bo‘lgan F nuqtada kesib o‘tadi (178-betga qarang). Keyin, radiusi K radiusga teng bo'lgan, biz G va H nuqtalarda K bilan kesishuvchi markaz F bo'lgan yoylarni tasvirlaymiz. G va H nuqtalardan masofalari OX ga teng bo'lgan va X dan X dan ajratilgan Y nuqta bo'lsin. markaz O. Bu holda, marta sifatida AY segmenti zarur beshburchak tomoni hisoblanadi. Dalil o'quvchiga mashq sifatida taqdim etiladi. Shunisi qiziqki, qurilish vaqtida faqat uch xil radius ishlatiladi.
1928 yilda daniyalik matematik Elmslev Kopengagendagi kitob do'konida kitobning nusxasini topdi. Evklid Danicus 1672 yilda noma'lum muallif tomonidan nashr etilgan G. Morom. Sarlavha sahifasidan xulosa qilish mumkinki, bu Evklidning "Elementlar" versiyalaridan biri bo'lib, ehtimol tahririyat sharhi bilan jihozlangan. Ammo diqqat bilan o'rganib chiqqach, unda Mascheronidan ancha oldin topilgan Mascheroni muammosining to'liq yechimi borligi ma'lum bo'ldi.