|
Е т ,а=Е^С-6А. (5.33)
Демак, содда кубик панжара учун электрон энергиялари зона си кемглиги
Е т ^- Ет ^\ 2 А. (5.34)
Кучли богланган электрон такриби, равшанки, атомлар нинг чукур энергетик сатуюрида жойлашган электронлар учун узини о^айли. чунки, бу электронлар панжаранинг бошка ту- гунларда атомлар билан узаро суст таъсирлашади.
Албатга, кучсиз богланган элеетронлар \амда кучли
богланган электронлар такриблари кристаллнинг утказувчанлик
зонасидаги элекгронлар \олатини микдоран туфи тавсифлай ол- майди, улар айрим кристаллардаги электронларнинг энергетик спектрини ва тул^н функиияларини \исоб-китоб килишга ирамайди. Бирок» му\ими шуки, бу тацриблар электронинг даврий майдонда \аракати туфисида я^кол умумий хулосалар чикариш имконини беради.
5.5. Крониг-Пенни модели
Электрон даврий электрик майдонда \аракат цилганда унинг электрик спектри кандай булишлигини якк°л курсатадиган содда моделлардан бири Крониг-Пенни модели- дир. У атомларнинг бир чизик буйлаб даврий жойлашган
\олига мое булиб, бунда масалани соддалаштириш мацсадидп мазкур йуналишда электрон учун навбатлашувчи (даврий) тугри бурчакли потенциал туфи чизи^ар мавжуд деб фараз цилинади. Туси^нинг кенглиги а, атомнинг электрон учун
\осил килган потенциал чукурликнинг кенглиги Ь ва туси^нинг баландлиги К0 булсин (5.1- чизма). Бу \олда Кри
стал панжарасининг доимийси с=а+Ь булади.
к£
*
-Ъ о а а+Ъ
5.1-чизмн. Крониг-Пенни модели.
Электроннинг бундай даврий майдондаги Е энергияси тусикнинг баландлигидан кичик деб \исобланади. Ш уни таъкидлаймизки, квант механикасига асосан, электрон бу по тенциал тусик/iap устидан утишга энергияси етарли булмасада, тусивдар деворидан туннел утиш (тиркиш) йули билан утиб кета олиши мумкин ва шу йусинда бу бир улчовли кристал буйлаб \аракатлана олади.
Бу \олда электрон учун Шредингер тенгламаси куйидаги
куринишда булади:
2/я Л 2
бундаги электроннинг тул^ин функиияси.
(5.35) тенглама потенциал чу^ур ва потенциал тусик со\алари учун, мое равишда, куйидаги куринишда ёзилади:
^ - +к 2чг, = 0 , (5.36)
сЫ
2 =0, (5.37)
<Ьс2
булардаги
(12= 8^ ш £ е 2 =Ц ш (^ _ £) (5 38)
А2 А
Потенциал чукур со^аси 0<х<я учун (5.36) тенгламанинг ечими
щ ( х ) = А е ‘ь + Ве~‘1а , (5.39) потенциал тусик; со\аси —Ь<х<0 учун (5.37) тенгламанинг ечими
у/2( х ) = С евх + 0<Га' (5.40)
куринишларда булади.
Кристалл панжараси даврийлигидан Блох функцияси учун
у/(х+с) = е,кс\1/{х) = е,<1>\1/(х) (5.41)
муносабат уринли, бунда <р-кс. Энди (5.40) ечимни (5.41) дан фойдаланиб, а<х<с тусик; со^а учун
щ ( х ) =е"<’У К^ ) + 0 ^ " г" ' )| (5.40)
куринишда ёза оламиз.
Олинган ечимлар со\алар чегараларида узлуксиз булишлиги, яъни бу чегараларда \|/|(х) ва ч»з(*) тул^ин функциялари \амаа уларнинг \осилалари узаро тенг булишлиги керак.
х=0 чегарадаги ц/|(0)=\}/2(0) ва ¿Л|/1+^х1Хжо=^2=^с1х=о шарт- лардан:
106
/4+Я=С+Д (5.42)
/*М-Я)=0(С-0). (5.43)
х=а чегарадаги щ (а)=у/7(а ) ва шартлар-
Ае'к“ +В е ’ки=е»( С И Ч Ое°ь) , (5.44)
¡к(Ае*ка- Ве-*ка)=$е*( О 0*-№ * ) (5.45)
(5.41) - (5.44) тенгламалар системаси А ,В ,С ,0 доимийларни ани^даш имконини беради. Бу система бир жинсли тенглама лар системаси булиб, унинг маъноли ечимга эга булиши учун ушбу тенгламалардаги А.В.С.й лар олдидаги купайтувчилардан
тату_зчичлган аник,ловчи (детерминант) нолга тенг булиши ке“рак1 яъни
1к - ¡к - в в
е>ка ^-¡ка _ е <<р-вЬ „ е 1ф+0Ь = 0 . (5.46)
¡ке ,ка - ¡ке " ,ка - ве 1<р~вь в е 1<р+вь
Бу ани^ловчини очиб чи^илганда
тенглама келиб чикади.
Бу ифодадаги к ва 6 катталиклар [(5.38)га каранГ) элек- троннинг Е энергияси орцали ифодаланганлиги туфайли <р га турли кийматлар бериб, Е(<р) функциями, яъни электрон энер- гиялари спектрини ани^аш мумкин. Аммо (5.47) тенгламани ечиш мураккаб, у та1фибий \исоблашни талаб киладм. Лекин аирим чегаравий \оллярда жуда яккол натижалар олиш мум кин. Бу \олда потенциал тусиц кенглиги Ь ни нолга (¿>->0) ва унинг баландлиги У„ ни чексизга (Но-*-) интилтирамиз, аммо о у „ купайтма чекли доимий катталик булиб колади леб
\исоблаймиз, яъни
4 п~таЬ Уа/№=Р=с(о5.4пъ8){ . Энди Ь—*0 ва Уо-)оо чегаравий \олда:
в 2 - к 2 зНбЬ = Нш в 2 - к 2 вЬ----= ьв 1 =—р .
—т-
V-*» 2 вк Ь-¥0 2вк ЭЬ ¿-И) 2к ка
у-*~
Бу \олда (5.47) тенглама содда кУринишга келади:
соька+ р ь[пка=со&(р. (5.50)
—
ка
5.2- чизмада (5.50) тенглама ечими график усулда тасвирланган.
Р(ка)=со% ка +-— вт ка
ка
к 1 > 1 V 1 1 А
¡\! \ !1 1! //! Л\ !! !!//11 \1\ 11 ! // Д\ 1М1 //1
|‘ \\ |‘ * // 1 1|\\ |1 1( // '1 1
■*!\ \\ г1*!1// 1г*\1 \V1■*!Ч/ 110 \ \ ¡* 1/ |л: \ ¡ад / [♦*
11 V\ 1!/ 11 11 \\! /1/ 1 11 \V1 У!/ 1 1< VV !'// 11
V \ ! 1-1 * \ / 1 1 V/ 1
5.2-чизма. Шрсдингер тенгламасининг ечими.
Чизмадан куриниб гурганидек, совф нинг кийматлари +1 дан - I гача ораличиаги кийматларнигина олиши туфаили, факат шу ораликда жойлашган со\алар (5.50) нинг ечимлари- ни Уз ичига олади (чизик,панган со\алар) мазкур ораликдан ташкаридаги со\аларда (5.50) нинг ечимлари булмайди.
Шундай килиб, к нинг бинобарин Е нинг ^ийматлари му- айян ораликда рухсатланган булиб, улар орасидаги со\алар
таки»у1анган булар экан. Демак, Крониг-Пенни модели бир улчовли (бир йуналишли) даврий потенциал майдонида
\аракагланаётган электроннинг энергиялари рухсатланган ва
таки^ланган со\алар (оралик,пар, зоналар)дан иборат булишлигини курсатади.
Баъзи чегаравий \олларда (5.50) к,изикарли натижалар ое-
ради.
1) Р-юо яъни потенциал тусик, жуда баланд. Бу \ол элек- тронларнинг уз атомлари билан богланган \олига тугри кела- ди. к=0 булганда
Do'stlaringiz bilan baham: |
