Karrali xosmas integralning ta’rifi

2.1.3-ta’rif. to’plamni monoton qoplovchi Jordan ma’nosida o’lchovli to’plamlar ketma-ketligi va uchun larni tanlab olishga bog’liq bo’lmagan holda
(1)
chekli limit mavjud bo’lsa u holda bu limit funksiyadan to’plam bo’yicha olingan yaqinlashuvchi karrali xosmas integrali deyiladi va quyidagicha belgilanadi
(2)
esa da xosmas ma’noda integrallanuvchi funksiya deyiladi. (2) belgilash (1) limit mavjudligi to’plamning qoplovchilarini tanlashga bog’liq bo’lganda yoki (1) limit cheksiz bo’lganda yoki mavjud bo’lmagan hollar uchun ham ishlatildi. Bu holda (2) karrali xosmas integral uzoqlashuvchi deyiladi.
Misol. integral yaqinlashishga tekshirilsin.
to’plamning 2 ta qoplovchisini tuzamiz va

, .

funksiya , sohalarda uchun Riman ma’nosida integrallanuvchi lekin


Bu limitlarning farqliligi berilgan integral uzoqlashuvchi ekanligini bildiradi, chunki bu limit to’plam qoplovchilarini tanlab olinishiga bog’liq bo’lmasligi kerak.
Yaqinlashuvchi karrali xosmas integralni yana bir ta’rifini keltiramiz.
2.1.4-ta’rif. dagi ochiq qism to’plam va bo’lsin. Agar son mavjud bo’lsaki son uchun kompakt to’plam topilsaki , munosabatni qanoatlantiruvchi ochiq Jordan to’plami uchun
(3)
tengsizlik o’rinli bo’lsa funksiya da xosmas integral ma’nosida integrallanu-vchi deyiladi. soni yaqinlashuvchi karrali xosmas integralning qiymati deyiladi.
2.1.1- teorema. 1.3 va 1.4 ta’riflar ekvivalent.


2.2 § Manfiymas funksiyalarning karrali xosmas integrali.

Ochiq to’plam bo’yicha manfiymas funksiyaning xosmas karrali integralini yaqinlashishga tekshirishda to’plamning mumkin bo’lgan barcha qoplovchilar sinfini qurish shart emas, balki hisoblash uchun qulay bo’lgan to’plamning biror monoton qoplovchi ochiq to’plamlar ketma-ketligini qarash yetarli. Buning tasdig’i quyidagi teoremada ifodalangan.

2.2.1-teorema. - funksiya ochiq to’plamda manfiymas, - ochiq Jordan to’plamlari - to’plamning qoplovchisi bo’lsin. Agar mavjud bo’lsa, u holda to’plamning har qanday ochiq Jordan to’plamlari uchun (1) limit mavjud va ga teng, ya’ni yaqinlashuvchi va ga teng.
Misol. Riman qanday qiymatlarida quyidagi integral yaqinlashishini toping.
, , `
Aytish mumkinki agar bo’lsa integral ostidagi funksiya to’plamda uzluksiz, demak u Riman ma’nosida integrallanuvchi va shuning uchun berilgan integral yaqinlashuvchi. Integralni da qaraymiz nuqta funksiyaning sohadagi yagona maxsus nuqtasi. to’plam da o’lchovli ochiq va to’plamni qoplaydi. funksiya to’plamda musbat va uzliksiz shuning uchun sohada lokal integrallanuvchi. ni hisoblaymiz. Oxirgi integralda qutb koordinatalar sistemasiga o’tib, da

Olingan tenglikda da limga o’tib, 2.1 teoremani e’tiborga olsak berilgan integral da yaqinlashuvchi, da uzoqlashuvchi ekanligini topamiz.