Изготовление самосовмещенного

Одномерное уравнение Фика

В 1855 году Фик предложил теорию диффузии:

В отсутствии конвекции перенос атомов через единичную площадку при одномерном направлении потока может быть описан уравнением:
_{J  D} c(x,t)
^x (9.9).
– первый закон Фика
Здесь J – диффузный поток, скорость переноса вещества через единичную площадку. Минус означает, что процесс идет в направлении уменьшения концентрации растворенного вещества, то есть градиент отрицательный.
Из закона сохранения вещества следует, что изменение концентрации со временем должно быть равно уменьшению диффузионного потока в том же объеме:

c(x,t) _{ } J (x,t)
(9.10)

t t

Из (9.9) в (9.11) выводится второй закон Фика::

^c(x,t) _ ^{ }_D ^c(x,t) ^

t x ^{ } x
_




^ – (9.11)

При низких концентрациях примеси D = const получаем простое диффузионное уравнение Фика:

x(x,t) _
t
 ²C(x,t,)
^D x ²
(9.12)

Решения данного уравнения проводятся для различных простых начальных граничных условий.

12. Постоянные коэффициенты диффузии

При низких значениях концентрации диффузия хорошо описывается уравнениями с постоянными значениями коэффициента диффузии.

При высоких концентрациях примеси форма диффузионных профилей отличается от расчетной. Здесь необходимо учитывать зависимость коэффициента диффузии от концентрации примеси.
Для объяснения зависимости коэффициента диффузии от концентрации примесей и других явлений при диффузии разрабатываются различные атомистические теории– модели, основанные на взаимодействии дефектов с примесными атомами.

13. Механизмы диффузии в твердом теле

При высоких температурах в кристалле увеличивается количество точечных дефектов. Диффузия в твердом теле может быть представлена как движение атомов диффузанта в кристаллической решетке за счет вакансионного или междоузельного механизма диффузии.

1. 
   Механизм диффузии, когда соседний атом, будь то атом примеси или собственный атом кристалла, мигрирует на место вакансии, называется вакансионным.
   
2. 
   Механизм диффузии, при котором атом переходит из одного междоузлия в другое, не попадая при этом в узлы кристаллической решетки, называется механизмом перемещения атомов по междоузлиям.
   
3. 
   Движение междоузельных атомов, когда в процессе перемещения они вытесняют атом из узла решетки и замещают его, а вытесненный атом при этом становится межузельным, такое перемещение собственных или примесных атомов называют механизмом непрямого перемещения атомов по междоузлиям или эстафетным механизмом.
   
4. 
   С указанным механизмом непосредственно связан и краудионный механизм, при котором атом, расположенный в атомном ряду посередине между двумя узлами решетки, перемещается к одному из них, смещая при этом атом, расположенный в узле. Вытесненный атом становится межузельным и занимает промежуточное положение в данном ряду кристаллической решетки.
   

Сопоставление теории и эксперимента обнаружило, что диффузия примесей элементов третьей и пятой групп происходит по вакансионному механизму. Элементы первой и седьмой групп, имеющие малый ионный радиус, относятся к быстродиффундирующим примесям и механизм диффузии является междоузельным.
При низкой концентрации примеси процесс диффузии может быть описан решением простого уравнения Фика. При этом коэффициенты диффузии различных элементов определяются для разных температур.
В общем случае диффузия анизотропна. Однако в кубической решетке из–за ее симметрии диффузия изотропна. Процессы изотропной диффузии описываются посредством коэффициента диффузии D, который является скалярной величиной и определяется из первого закона Фика.
При одномерной диффузии

_{J =} DN
x
(9.13)

где J – плотность потока атомов или дефектов вещества, D – коэффициент диффузии, N – концентрация атомов или дефектов решетки.
Температурная зависимость коэффициента диффузии выражается следующим соотношением:


D = D₀ exp(–E_a/kT)(9.14)

где E_a – энергия активации процесса диффузии, T – температура диффузии, k

– постоянная Больцмана (k = 8,63·10^-5 эВ/град).

Для разных механизмов диффузии энергия активации различна. Например, для вакансионного механизма значение E_a равняется E_a= 3–4 эВ, а для диффузии по междоузлиям E_a= 0,6 –1,2 эВ.
Изменение концентрации растворенного вещества во времени при одномерной диффузии определяется вторым законом Фика:

N _
t
 _(D N ₎
x x


(9.15)

Таблица 9.1. Диффузионные параметры различных элементов в кремнии:

Элем ент	D при 1473 К, м^2/с	D0, м^2/с	Ea·10^–19 , Дж	Тип проводим ости
		(5–
B	–16 2.8·10	– 10.5)·10 4	5.6–5.92	p
Al	–15 1.5·10	(4.8– –4 8.0)·10	5.28	p
Ga	(2.5– –16 4.1)·10	–4 3.6·10	5.6–6.56	p
In	–17	–4	6.24	p
	8.3·10	16.0·10
Tl	–17	–4	6.24	p
	8.3·10	16.0·10
P	–16	–4	5.92	n
	2.8·10	10.5·10
As	–17	–4	5.76	n
	2.7·10	0.32·10
Sb	–17	–4	6.24	n
	2.2·10	5.6·10
Bi	–17 2.0·10	0.1	7.36	n
Li	–9	–7	1.06	n
	1.3·10	2.3·10
Au	–10	–7	1.76	Амфотер
	1.1·10	1.1·10		ный

При диффузии на небольшую глубину примеси с относительно низкой концентрацией (концентрация примеси ниже концентрации собственных носителей при температуре диффузии) коэффициент диффузии не зависит от концентрации диффузанта. Значение коэффициента в этом случае принято называть собственным коэффициентом диффузии.

Для низкой концентрации примеси уравнение (9.15) можно записать в виде:

N _{= D}
t
 ² N

x ²

(9.16)

Однако при высоких уровнях легирования наблюдается значительное увеличение коэффициента диффузии, что имеет место за счет влияния на движение примеси электрического поля, возникающего при термической диффузии, а также при взаимодействии примеси с дефектами, находящимися в различном заряженном состоянии.

14.