Изготовление самосовмещенного

Концентрационно–зависимые коэффициенты диффузии

Для определения концентрационной зависимости коэффициента диффузии рассмотрим второй закон Фика. c_s = const. Если D есть функция только с и c_s = const ,то уравнение может быть записано в виде простого

дифференциального уравнения с новой переменной , где  
c зависят явным образом только от x.
После замены переменной получаем:

1
C
 _{2 }  dC
, то есть D и

D(c)  ^C0
dC


d
(9.23)

Это соотношение позволяет получить графическое отображение измеренного профиля концентрации как зависимость концентрации c от значения η. Для этого выбираю начало отсчета, затем проводится поверхностное численное интегрирование:

C
_  dC
C₀


или
C / C₀
C_{0 }  d (C / C₀ )
C₀


(9.24)

Условия, когда с зависит только от η проверяется построением графика x от t^1/2, где прямая линия с = с(η). Такой способ обработки называется преобразованием Больцмана – Матано.

17. Атомные механизмы диффузии

Верхний предел концентрации легирующей примеси, для которой справедливо предположение о постоянстве коэффициента диффузии, может быть оценен по концентрации собственных носителей n_i при температуре

диффузии. D = const, если c(x) < n_i и D_i – собственный коэффициент диффузии.
Для того, чтобы понять механизм диффузии при высоких концентрациях были предложены атомные модели процесса диффузии в твердом теле, которые сравнивались с экспериментальными данными.
Было установлено, что вакансионный механизм диффузии наиболее вероятен для кристаллов с гранецентрированной кубической решеткой. Диффузия в кремнии может быть описана за счет механизма, предполагающего взаимодействие примеси и точечных дефектов с дефектами, находящимися в различном заряженном состоянии.
Точечные дефекты, образованные внутренней примесью, могут стать активными, когда они захватывают или теряют электроны. Вакансия может заряжаться, действуя как акцептор и приобретая при этом отрицательный заряд: V + e V^–. Аналогично, междоузельный атом (I) может заряжаться как акцептор: I + e = I ^–.
Концепция диффузии за счет ионизированных точечных дефектов с успехом применяется для кремния. В результате было получено выражение для концентрации вакансий акцепторного типа в примесном кремнии (C_V).

1

i
C_{V } n C (V ^ ) n

, (9.25)

_{n }  ^{EF  Ei} 

^{ni exp}
_ kT

^ (9.26)

где C_i(V^–) – концентрация вакансий акцепторного типа в собственном кремнии. Так как C примерно пропорционально D, то таким образом

D/Di = n/ni (9.27)

D – коэффициент диффузии в примесном кремнии.
D_i – коэффициент диффузии в собственном кремнии. Учитывая все возможные виды взаимодействий примесей с кристаллической решеткой получим формулу:


m m
D  D^X  _(D^r )(n / n )^r _(D^r )(n / n )^r

r1
i
r1
i
, (9.28)

где D^x и x относятся к нейтральным дефектам. r – степень ионизации точечных дефектов. "–" – акцептор, "+" – донор. D_i собственный коэффициент диффузии, E – энергия активации. V⁺ – ионизованные вакансии донорного типа. V^x – нейтральные вакансии. V ^–– ионизованные вакансии акцепторного типа.

Это феноменологическое выражение для зависимости коэффициента диффузии от концентрации примеси, которое описывает диффузию за рамками уравнения Фика, но не дает ответ о механизме диффузии, что требует других измерений, например, зависимости D от температуры.

18.