История появления натуральных чисел и нуля. Теоретико-множественное определение натурального числа и нуля. Теоретико-множественное определение сложения и разности целых неотрицательных чисел. Свойства сложения

Наибольший общий делитель (НОД), наименьшее общее кратное(НОК).
Общим делителем натуральных чисел а и в назыв. всякое натуральное число явл-мся делителем каждого из данных чисел. Наибольшее число из всех делителей чисел а и в называется наибольшим общим делителем данных чисел. Обозначается К (а,в)
Общим кратным натуральных чисел а и в называется число, которое кратно каждому из данных чисел. Наименьшее число из всех общих кратных чисел а и в называется наименьшим общим кратным этих чисел. Обозначается К (а,в) ( напр. общее кратное чисел 5 и 7 явл. 35,70, 140. НОК 35)
Или
Общий делитель нескольких чисел – это число, которое является делителем для каждого из этих чисел. Например, общими делителями чисел 24, 30 и 18 являются числа 2, 3 и 6.
Наибольший общий делитель (обозначается НОД) – это наибольшее число из общих делителей. Например, НОД (24, 30,18) = 6.
Общее кратное нескольких чисел – это число, которое является кратным каждому из этих чисел. Например, для чисел 3 и 6 общими кратными являются 12, 24, 36 и т.д.
Наименьшее общее кратное (обозначается НОК) – это наименьшее из общих кратных. Наименьшее общее кратное чисел (НОК) – это такое минимальное число, которое делится без остатка на каждое из этих чисел.
Например, НОК (3,6) = 6, НОК (24,30,18) = 360.
НОД и НОК можно найти, применяя разложение чисел на простые множители.
Для НОД нужно выписать все множители, которые входят в разложения данных чисел. Затем каждый такой множитель следует взять с наименьшим показателем, с которым он входит во все данные числа, после чего нужно произвести умножение.
Например,
24 = 2 · 2 · 2 · 3 = 23 · 3.
30 = 2 · 3 · 5
18 = 2 · 3 · 3 = 2 · 32
В нашем примере множители, которые входят в разложение каждого числа – это 2 и 3. Их минимальная степень – это единица.
Тогда НОД (24,30,18) = 2 · 3 = 6.
Если НОД (a, b) = 1, то числа a и b называют взаимно простыми. Например, числа 15 и 8 являются взаимно простыми, хотя каждое из них – составное.
Для определения НОК нужно выписать все множители, которые встречаются хотя бы в одном из разложений данных чисел. Затем каждый такой множитель следует взять с наибольшим показателем, с которым он входит в одно из чисел, после чего нужно произвести умножение.
Например,
24 = 2 · 2 · 2 · 3 = 23 · 3.
30 = 2 · 3 · 5
18 = 2 · 3 · 3 = 2 · 32
В нашем примере множители, которые входят в разложение каждого числа – это 2, 3 и 5. Их максимальные степени – это соответственно 3,2 и 1.
Тогда НОК (24,30,18) = 23 · 32 · 5 = 360.