История появления натуральных чисел и нуля. Теоретико-множественное определение натурального числа и нуля. Теоретико-множественное определение сложения и разности целых неотрицательных чисел. Свойства сложения

Нахождение НОД отрицательных чисел

Если одно, несколько или все числа, наибольший делитель которых нужно найти, являются отрицательными числами, то их НОД равен наибольшему общему делителю модулей этих чисел. Это связано с тем, что противоположные числа a и −a имеют одинаковые делители, о чем мы говорили при изучении свойств делимости.
Пример.
Найдите НОД отрицательных целых чисел −231 и −140.
Решение.
Модуль числа −231 равен 231, а модуль числа −140 равен 140, иНОД(−231, −140)=НОД(231, 140). Алгоритм Евклида дает нам следующие равенства: 231=140·1+91; 140=91·1+49; 91=49·1+42; 49=42·1+7 и 42=7·6. Следовательно, НОД(231, 140)=7. Тогда искомый наибольший общий делитель отрицательных чисел −231 и −140 равен 7.
Ответ:
НОД(−231, −140)=7.
Пример.
Определите НОД трех чисел −585, 81 и −189.
Решение.
При нахождении наибольшего общего делителя отрицательные числа можно заменить их абсолютными величинами, то есть, НОД(−585, 81, −189)=НОД(585, 81, 189). Разложения чисел 585, 81 и 189 на простые множители имеют соответственно вид 585=3·3·5·13, 81=3·3·3·3 и 189=3·3·3·7. Общими простыми множителями этих трех чисел являются 3 и 3. ТогдаНОД(585, 81, 189)=3·3=9, следовательно, НОД(−585, 81, −189)=9.
Ответ:
НОД(−585, 81, −189)=9.

Основная теорема арифметики
Любое составное число можно единственным образом представить виде произведения простых множителей.
Каждое натуральное число  представляется в виде  , где  суть простые числа, причём такое представление единственно с точностью до порядка следования сомножителей. Основная теорема арифметики/рамка Единицу можно также считать произведением нулевого количества простых чисел, «пустым произведением».
Как следствие, каждое натуральное число  единственным образом представимо в виде  , где  — простые числа, и  — некоторые натуральные числа.
Следствия теоремы
Основная теорема арифметики даёт элегантные выражения для наибольшего общего делителя и наименьшего общего кратного.
Доказательство
Доказательство основной теоремы арифметики опирается на так называемую лемму Евклида:
сли простое число p делит без остатка произведение двух целых чисел x·y, то p делит x или y. Основная теорема арифметики/рамка
Существование. Пусть n — наименьшее натуральное число, неразложимое в произведение простых чисел. Оно не может быть единицей по формулировке теоремы. Оно не может быть и простым, потому что любое простое число является произведением одного простого числа — себя. Если n составное, то оно — произведение двух меньших натуральных чисел. Каждое из них можно разложить в произведение простых чисел, значит, n тоже является произведением простых чисел. Противоречие.
Единственность. Пусть n — наименьшее натуральное число, разложимое в произведение простых чисел двумя разными способами. Если оба разложения пустые — они одинаковы. В противном случае, пусть p — любой из сомножителей в любом из двух разложений. Если p входит и в другое разложение, мы можем сократить оба разложения на p и получить два разных разложения числа n/p, что невозможно. А если p не входит в другое разложение, то одно из произведений делится на p, а другое — не делится (как следствие из леммы Евклида, см. выше), что противоречит их равенству.