|
Задача 1 . Найти значение функции в точке х = -1,
Составим таблицу, в первой строке которой записаны коэффициенты многочлена .
|
1
|
-3
|
-13
|
15
|
-1
|
1
|
-4
|
-9
|
24
|
f(-1)=24(мы нашли значение функции в точке -1)
Задача 2 . Вычислить p(3) ,где
|
4
|
-7
|
5
|
0
|
-2
|
1
|
3
|
4
|
5
|
20
|
60
|
178
|
535
|
Значит, p(3)=535.
4.2 Разложение многочлена на множители
Для нахождения корня многочлена нам помогут следующие теоремы:
Теорема 1: Если сумма коэффициентов многочлена равна 0, то число 1 является корнем многочлена.
Теорема 2: Если сумма коэффициентов, стоящих на чётных местах равна сумме коэффициентов, стоящих на нечётных местах, то число (-1) является корнем многочлена.
Задача 1. Разложить на множители с целыми коэффициентами многочлен
Решение: Ищем целые корни среди делителей свободного члена: .
Составим таблицу коэффициентов и выясним, является ли число 1 корнем многочлена?
По схеме Горнера заполним пустые ячейки таблицы.
|
2
|
-7
|
-3
|
5
|
-1
|
х = 1
|
2
|
-9
|
6
|
-1
|
0
|
Так, как в последней ячейке получилось значение равное нулю,
то х = 1 – это корень многочлена. Или это следует из Теоремы 1.
Из теоремы Безу следует, что
Ищем целые корни многочлена среди делителей его свободного члена: . Вычисления показывают, что целых корней нет. Так как старший коэффициент многочлена не равен 1,то многочлен может иметь дробные рациональные корни. Дробными корнями могут быть только числа . Подходит
Имеем:
Трехчлен на множители с целыми коэффициентами не раскладывается.
Ответ:
10.3 Деление многочленов
Задача 1. Разделить многочлен на , используя схему Горнера.
Запишем данный многочлен в виде 5х4 + 5х3 + х2 + 0х – 11 и составим таблицу. При помощи схемы Горнера её заполним.
|
5
|
5
|
1
|
0
|
-11
|
х = 1
|
5
|
10
|
11
|
11
|
0
|
Числа, расположенные во второй строке, есть коэффициенты многочлена, полученного после деления на х-1. Т.к. степень исходного многочлена 5х4+5х3+х2-11 равнялась четырем, то степень полученного многочлена на единицу меньше, т.е. равна трем.
Получаем
В нашем случае остаток равен нулю. Значит, можно сформулировать такой вывод: многочлен делится на х-1, и еще х = 1 является корнем многочлена.
10.4 Решение уравнений высших степеней
Уравнение вида Р(х)=0, где Р(х) - многочлен степени n > 2, записанное в виде a0 xn + a1 xn-1 + a2 xn-2 +…+an-1 x +an = 0, называют уравнениями высших степеней, где n показывает степень уравнения.
Задача 1. Решить уравнение:
|
1
|
-3
|
-13
|
15
|
1
|
1
|
-2
|
-15
|
0
|
-1
|
1
|
-4
|
-9
|
24
|
2
|
1
|
-1
|
-15
|
-15
|
-2
|
1
|
-5
|
-3
|
9
|
3
|
1
|
0
|
-13
|
-24
|
-3
|
1
|
-6
|
5
|
0
|
5
|
1
|
2
|
-3
|
0
|
-5
|
1
|
-8
|
27
|
120
|
Коэффициент перед старшей степенью переменной (т.е. перед x3) равен единице. В этом случае целочисленные корни многочлена нужно искать среди делителей свободного члена, т.е. среди делителей числа 15.
Свободный член 15: его делители ± 1, ± 3, ± 5, ± 15
По теореме 1, сумма коэффициентов равна 0, значит 1 является корнем.
Составим таблицу из двух строк: в первой строке запишем коэффициенты многочлена , расположенные по убыванию степеней переменной х. Во второй строке запишем 1, т.к. мы делим на х-1.
Начнем заполнять пустые ячейки во второй строке. Во вторую ячейку второй строки запишем число 1, просто перенеся его из соответствующей ячейки первой строки. Следующую ячейку заполним по такому принципу: 1⋅1+(-3)=-2. Аналогично заполним и четвертую ячейку второй строки: 1⋅(-2)+(-13)=-15
Для пятой ячейки получим: 1⋅(-15)+15=0. Значит 1 корень уравнения. Если получается число, отличное от нуля, то это не корень.
Заполняем таблицу и для других делителей:-1 не удовлетворяет по теореме 2, поэтому не проверяем. Из таблицы видно, что найдены три корня. Уравнение 3 степени не может иметь более трех корней, поэтому остальные делители можно не проверять. Мы нашли корни уравнения
х1 =1, х2= -3, х3 = 5
Ответ: -3; 1; 5.
Задача 2. а) Найти целые корни уравнения
Если уравнение имеет целые корни, то они находятся среди делителей свободного члена. Запишем эти делители: ± 1, ± 2, ± 3, ± 6.
Составим и заполним таблицу по схеме Горнера. Для начала запишем многочлен в стандартном виде: х3- 0х2 - 7х-6.
1 не подставляем, т.к. не выполняется условие теоремы 1.
|
1
|
0
|
-7
|
-6
|
-1
|
1
|
-1
|
-6
|
0
|
2
|
1
|
2
|
-3
|
-12
|
-2
|
1
|
-2
|
-3
|
0
|
3
|
1
|
3
|
2
|
0
|
решив уравнение получили корни х1 = -1, х2 = -2, х3 = 3
10.5 Умножение многочлена на одночлен
Схему Горнера можно использовать не только для разложения многочлена на множители, но и для решения обратной задачи – для умножения многочлена на двучлен
Пример1. Преобразовать в многочлен стандартного вида
произведение
Решение. При искомый многочлен обращается в нуль. Если бы мы искали значение многочлена с помощью схемы Горнера, то вторая строка таблицы содержала бы коэффициенты многочлена Учитывая, что его коэффициент при равен нулю, начертим таблицу и заполним её вторую строку.
В первой клетке первой строки должно стоять число 2. Во второй клетке – число, которое в сумме с произведением даёт 5, т.е. число -1. Число в третьей клетке первой строки в сумме с произведением даёт 0. Значит, это число -15. Аналогично, в четвёртой клетке должно стоять число -4, а в последней, пятой клетке первой строки – число 12. Заполним верхнюю строку таблицы.
|
2
|
1
|
15
|
-4
|
12
|
3
|
2
|
5
|
0
|
-4
|
0
|
В верхней строке таблицы мы получили коэффициенты искомого многочлена.
Ответ:
4.6 Решение неравенств высших степеней.
Пример1. Решите неравенство
Для решения неравенства методом интервалов разложим на множители
многочлен . Так, как сумма его коэффициентов равна 0, то один из корней равно 1.
Составим таблицу и заполним её по схеме Горнера.
По теореме Безу получаем
Далее
Решив последнее неравенство методом интервалов, получим, что .
Ответ: .
10.7 Применение схемы Горнера при решении задач с параметром.
1) Найдите наибольшее целое значение параметра а, при котором уравнение f(х) = 0 имеет три различных корня, один из которых х0 , если
f(х) = х3 + 8х2 + ах + b, х0 = – 3.
Так один из корней х0 = – 3 , то по схеме Горнера имеем:
|
1
|
8
|
а
|
b
|
– 3
|
1
|
5
|
– 15 + а
|
0
|
х3 + 8х2 + ах + b = (х + 3) (х2 + 5х + (а – 15))
Уравнение х2 + 5х + (а – 15) = 0 должно иметь два корня. Это выполняется только в том случае, когда D > 0.
а = 1; b = 5; с = (а – 15),
D = b2 – 4ac = 25 – 4 (a – 15) = 25 + 60 – 4a > 0,
85 – 4a > 0;
4a < 85;
a < 21
Наибольшее целое значение параметра а, при котором уравнение f(х) = 0 имеет три корня, а = 21.
Ответ: 21.
2) Многочлен при делении на , даёт остаток 18,
а на делится без остатка. Найдите значения и корни многочлена.
Решение. Если многочлен делится на с остатком, равным 18,
то из теоремы следует, что
В нашем примере получается, что Так, как , то корень многочлена.
Вычислим и по схеме Горнера.
Для :
Do'stlaringiz bilan baham: |
