Интегралы1

б ) – целое (p – дробное: p = r/s). Рационализирующей подстановкой

является в этом случае .

Тогда a + bxⁿ = t^s,

Получим x^m(a + bxⁿ)^pdx =

т. к. – целое число, то –1 – тоже целое. Пришли к случаю а), а

потому выражение действительно рационализируется.

Пример.


(m = 1/3, n = 2/3, p = 1/3, s = 3, – целое)





c) – целое (p = r/s, – тоже дробное)

Рационализируещей подстановкой является

Тогда b + ax^–n = t^s.

Подставляя x и dx в подинтегральное выражение, снова убедимся, что приходим к случаю a), а потому действительно подинтегральное выражение рационализируется.

Пример. ; (m = – 2; n = 3; p = – ⁵_/3 – дробь;




s = 3;


x^–3 = t³ – 1, x = (t³ – 1)^–1/3,








4) Интегрирование выражений вида R (x, ). Подстановки Эйлера.

Выражение R (x, ), оно является рациональной

ф ункцией от x и

a, b, c – действительные числа, называют иногда функцией с квадратичной иррациональностью. Оказывается, всякий неопределённый интеграл вида

может быть вычеслен в конечном виде. Будем в дальнейшем

предпологать, что квадратный трёхчлен ax² + bx + c не имеет равных действительных корней, так как в этом случае подинтегральное выражение сразу есть рациональная функция (т. к. корень заменяется рациональным выражением). Изучим три подстановки Эйлера, с помощью которых всегда можно рационализировать подинтегральное

выражение, т. е. (1) свести к интегралу от рациональной функции.